Minimo vincolato metodo, di Lagrange
Ho il seguente problema devo minimizzare la seguente forma quadratica (con aggiunta di un'innocua costante)
$1/2x'Sigmax$ con gli associati vincoli $x'R=mu$ e $x'1=1$ dove $x$ è vettore Nx1, l'1 a sinistra dell'uguale
è vettore unitario Nx1, quello a destra è scalare. $Sigma$ è matrice NxN simmetrica e definita positiva (insomma non ponetevi
problemi di conformabilità). Il simbolo $'$ indica la trasposizione.
Troviamo la funzione lagrangiana del programma di minimizzazione:
$L(x,lambda1,lambda2)=1/2x'Sigmax+lambda1(mu-x'R)+lambda2(1-x'1)$
troviamo le condizioni del prim'ordine:
$(dL)/dx=Sigmax-lambda1R-lambda2*1=0$
$(dL)/(dlambda1)=mu-x'R=0$
$(dL)/(dlambda2)=1-x'1=0$
otteniamo il sistema
$x=Sigma^-1(lambda1R+lambda2*1)$ che è la condizione principale perché esprime $x$ il vettore
delle N "vere" incognite del problema in funzione di parametri noti e di 2 incognite "ausiliarie".
Tuttavia tali incognite, ovvero i moltiplicatori di Lagrange $lambda1$ e $lambda2$
(che ho definito incognite ausiliarie, perché inserite da noi) sono esprimibili
in termi di parametri noti fissando le altre 2 equazioni:
$mu-[Sigma^-1(lambda1R+lambda2*1)]'R=0$
$1-[Sigma^-1(lambda1R+lambda2*1)]'1=0$
allora possiamo ottenere tutto in funzione di parametri noti.
Tale problema in questa veste è già stato risolto ma adesso vengo al punto.
Se riprendiamo le restrizioni iniziali del problema le possiamo scrivere in forma scalare
1)$x'R=sum_(i = 1)^(N)x(i)*mu(i)=mu$(non so scrivere i pedici)
2)$x'1=sum_(i = 1)^(N)x(i)=1$
per inciso, anche se si capisce, segnalo che le restrizioni rappresentano il rendimento medio e
la somma dei pesi.
Adesso vorrei aggiungere un terzo vincolo dicendo:
3)$x(i)>=0$ ovvero niente pesi negativi.
PARTE MODIFICATA
Come procedere con la minimizzazione per arrivare
almeno fino a dove sono arrivato io in questa illustrazione?
si può procedere con il metodo di Lagrange anche se abbiamo una disuguaglianza?
o si cambia strada, mi hanno fatto notare che forse si deve passare attraverso
le condizioni di Kuhn Tucker ma non ho ben capito come procedere
Spero possiate darmi lumi.
$1/2x'Sigmax$ con gli associati vincoli $x'R=mu$ e $x'1=1$ dove $x$ è vettore Nx1, l'1 a sinistra dell'uguale
è vettore unitario Nx1, quello a destra è scalare. $Sigma$ è matrice NxN simmetrica e definita positiva (insomma non ponetevi
problemi di conformabilità). Il simbolo $'$ indica la trasposizione.
Troviamo la funzione lagrangiana del programma di minimizzazione:
$L(x,lambda1,lambda2)=1/2x'Sigmax+lambda1(mu-x'R)+lambda2(1-x'1)$
troviamo le condizioni del prim'ordine:
$(dL)/dx=Sigmax-lambda1R-lambda2*1=0$
$(dL)/(dlambda1)=mu-x'R=0$
$(dL)/(dlambda2)=1-x'1=0$
otteniamo il sistema
$x=Sigma^-1(lambda1R+lambda2*1)$ che è la condizione principale perché esprime $x$ il vettore
delle N "vere" incognite del problema in funzione di parametri noti e di 2 incognite "ausiliarie".
Tuttavia tali incognite, ovvero i moltiplicatori di Lagrange $lambda1$ e $lambda2$
(che ho definito incognite ausiliarie, perché inserite da noi) sono esprimibili
in termi di parametri noti fissando le altre 2 equazioni:
$mu-[Sigma^-1(lambda1R+lambda2*1)]'R=0$
$1-[Sigma^-1(lambda1R+lambda2*1)]'1=0$
allora possiamo ottenere tutto in funzione di parametri noti.
Tale problema in questa veste è già stato risolto ma adesso vengo al punto.
Se riprendiamo le restrizioni iniziali del problema le possiamo scrivere in forma scalare
1)$x'R=sum_(i = 1)^(N)x(i)*mu(i)=mu$(non so scrivere i pedici)
2)$x'1=sum_(i = 1)^(N)x(i)=1$
per inciso, anche se si capisce, segnalo che le restrizioni rappresentano il rendimento medio e
la somma dei pesi.
Adesso vorrei aggiungere un terzo vincolo dicendo:
3)$x(i)>=0$ ovvero niente pesi negativi.
PARTE MODIFICATA
Come procedere con la minimizzazione per arrivare
almeno fino a dove sono arrivato io in questa illustrazione?
si può procedere con il metodo di Lagrange anche se abbiamo una disuguaglianza?
o si cambia strada, mi hanno fatto notare che forse si deve passare attraverso
le condizioni di Kuhn Tucker ma non ho ben capito come procedere
Spero possiate darmi lumi.
Risposte
Ho apportato qualche correzione al testo spero che adesso possiate aiutarmi.
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