Minimo funzione
Ho la seguente funzione:
$ y = e^x * root(3)(x) $
Mi si chiede di determinare i punti di massimo e minimo.
Prima di tutto il dominio di questa funzione è $ RR $.
Facendo la derivata ottengo:
$ y' = (e^x(3x +1))/(3 root(3)(x^2)) $
Si può notare subito come il punto $0$ sembra non ammettere derivata. Ho provato a fare il limite per $x rarr 0$ sia della derivata che del rapporto incrementale e ottengono infinito.
Eppure Wolfram mi dice che in $x = 0$ c'è un minimo assoluto:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=e^x+*+%28x%29^1%2F3
Se pongo la derivata prima = 0 ottengo che questa si annulla in $ x = -1/3$ e ponendo la derivata prima > 0, dallo schema ottengo che $ x = -1/3$ è un punto di minimo e $x = 0$ forse un flesso a tangente orizzontale.
Dove sbaglio
?
Grazie anticipatamente.
$ y = e^x * root(3)(x) $
Mi si chiede di determinare i punti di massimo e minimo.
Prima di tutto il dominio di questa funzione è $ RR $.
Facendo la derivata ottengo:
$ y' = (e^x(3x +1))/(3 root(3)(x^2)) $
Si può notare subito come il punto $0$ sembra non ammettere derivata. Ho provato a fare il limite per $x rarr 0$ sia della derivata che del rapporto incrementale e ottengono infinito.
Eppure Wolfram mi dice che in $x = 0$ c'è un minimo assoluto:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=e^x+*+%28x%29^1%2F3
Se pongo la derivata prima = 0 ottengo che questa si annulla in $ x = -1/3$ e ponendo la derivata prima > 0, dallo schema ottengo che $ x = -1/3$ è un punto di minimo e $x = 0$ forse un flesso a tangente orizzontale.
Dove sbaglio
?Grazie anticipatamente.
Risposte
Non ho capito il tuo problema. Nei punti estremanti interni al dominio in cui la funzione è derivabile si ha che $f'$ si annulla (teorema di Fermat). Ma in $0$ la $f$ non è derivabile, quindi è logico che, pur essendo un punto di minimo, non valga il teorema di Fermat.
E allora come faccio a capire che $0$ è un punto di minimo?
"leed":
E allora come faccio a capire che $0$ è un punto di minimo?
Potresti, per esempio, studiare il segno della derivata prima in un intorno di $0$.
Calcolando il limite destro e sinistro per $x rarr 0$ della derivata?
Altra cosa: cosa intendi per punti estremanti?
"leed":
Altra cosa: cosa intendi per punti estremanti?
Sono i punti di massimo e minimo relativi.
Anche senza fare passaggi al limite, calcola semplicemente il segno della funzione derivata.
Dicendo "Punti estremanti" ci si riferisce simultaneamente a massimi e minimi.
Dicendo "Punti estremanti" ci si riferisce simultaneamente a massimi e minimi.
"leed":
Altra cosa: cosa intendi per punti estremanti?
Un punto di massimo o di minimo per la funzione.
In $-1/3$ la derivata prima si annulla. La funzione è crescente sulla semiretta $]-oo , -1/3[$ , ed è decrescente su $] -1/3 , 0 [$ . Mentre sulla semiretta $] 0 , +oo[ $ la funzione è crescente.
Quindi $-1/3$ è un punto di massimo relativo (o locale).
In $0$ la funzione è continua. Sai anche che in un intorno sinistro di $0$ la funzione decresce e in un intorno destro di $0$ cresce.
$0$ è un punto di minimo relativo (con osservazioni ovvie concluderai che è un minimo assoluto).
Non capisco perchè la funzione in quegli intervalli cresce e descresce. Per vedere la crescenza o descrescenza della funzione basta studiare il segno della derivata, quindi:
$ y' = (e^x(3x +1))/(3 root(3)(x^2)) > 0$
Sappiamo che:
- $e^x > 0 AA x in RR $
- $3x + 1 > 0$ per $x > -1/3$
- $3 root(3)(x^2) > 0 AA x in RR$ escluso lo $0$
Quindi quando faccio lo "schema" teoricamente dovrebbe uscire una cosa del genere:
aaaaaaa-1/3asdee0
_____________________
_ _ _ _ _ _____________
$darr$aaaaaaa$uarr$aaaaaaaa$uarr$
Ho fatto due frecce di crescenza nello schema per dire che il punto $0$ è escluso.
Non capisco dove sbaglio.
$ y' = (e^x(3x +1))/(3 root(3)(x^2)) > 0$
Sappiamo che:
- $e^x > 0 AA x in RR $
- $3x + 1 > 0$ per $x > -1/3$
- $3 root(3)(x^2) > 0 AA x in RR$ escluso lo $0$
Quindi quando faccio lo "schema" teoricamente dovrebbe uscire una cosa del genere:
aaaaaaa-1/3asdee0
_____________________
_ _ _ _ _ _____________
$darr$aaaaaaa$uarr$aaaaaaaa$uarr$
Ho fatto due frecce di crescenza nello schema per dire che il punto $0$ è escluso.
Non capisco dove sbaglio.
up
Ehm...c'è nessuno?
Ho guardato il grafico proposto da Wolfram Alpha e non mi ci ritrovo per niente: la radice cubica è positiva per $x>0$ e negativa per $x<0$.
L'esponenziale è sempre positiva.
Il prodotto di queste due dovrebbe essere $[+]\cdot[+] = [+]$ se $x>0$ e $[-]\cdot[+] = [-]$ se $x<0$.
Inoltre, fare il grafico con geogebra mi dà un risultato coerente con quello che ho scritto, e quindi dà ragione alla tua soluzione.
L'esponenziale è sempre positiva.
Il prodotto di queste due dovrebbe essere $[+]\cdot[+] = [+]$ se $x>0$ e $[-]\cdot[+] = [-]$ se $x<0$.
Inoltre, fare il grafico con geogebra mi dà un risultato coerente con quello che ho scritto, e quindi dà ragione alla tua soluzione.
io non mi trovo col tuo grafico a me risulta: $f'(x)=(e^x(3x+1))/(3*x^(2/3))>=0$
$e^x>=0 AA x in RR$
$3x+1>=0 -> x>=-1/3$
$3*x^(2/3)>0 -> x>0$
con queste condizioni il grafico risulta diverso dal tuo!! inoltre:
$lim_(h -> 0) (e^(x+h)*(x+h)^(1/3)-e^x*x^(1/3))/h$ in $x=0$ il limite risulta =1!!
mi è capitata la stessa cosa con un esercizio e il prof mi ha spiegato che funzioni di questo tipo fanno parte di una classe particolare di funzioni mi sembra sia $c^n$ o qualcosa del genere insomma credo sia lipschitziana perchè è evidente che il rapporto incrementale non è uguale nei limiti destro e sinistro!! spero di non sbagliare anche perchè non ho ancora studiato queste funzioni!!!
$e^x>=0 AA x in RR$
$3x+1>=0 -> x>=-1/3$
$3*x^(2/3)>0 -> x>0$
con queste condizioni il grafico risulta diverso dal tuo!! inoltre:
$lim_(h -> 0) (e^(x+h)*(x+h)^(1/3)-e^x*x^(1/3))/h$ in $x=0$ il limite risulta =1!!
mi è capitata la stessa cosa con un esercizio e il prof mi ha spiegato che funzioni di questo tipo fanno parte di una classe particolare di funzioni mi sembra sia $c^n$ o qualcosa del genere insomma credo sia lipschitziana perchè è evidente che il rapporto incrementale non è uguale nei limiti destro e sinistro!! spero di non sbagliare anche perchè non ho ancora studiato queste funzioni!!!
Ho controllato il grafico con Grapher (per Mac) ed il grafico viene uguale a quello mio, quindi diverso da quello di WolframAlpha. Che sarà un error di Wolfram?
@paolotesla91
E' sbagliata questa condizione:
$3 * x^(2/3) $
Questa quantità è positiva sempre, in quanto: costante positiva * la radice cubica di qualcosa elevato al quadrato, quindi la radice cubica di qualcosa di sicuramente positivo.
@paolotesla91
E' sbagliata questa condizione:
$3 * x^(2/3) $
Questa quantità è positiva sempre, in quanto: costante positiva * la radice cubica di qualcosa elevato al quadrato, quindi la radice cubica di qualcosa di sicuramente positivo.
"leed":
Questa quantità è positiva sempre, in quanto: costante positiva * la radice cubica di qualcosa elevato al quadrato, quindi la radice cubica di qualcosa di sicuramente positivo.
Attenzione!
È vero che quella quantità è sempre positiva, ma il motivo è leggermente diverso.
La scrittura $x^{\frac a b}$ equivale a $(\root{x})^a$, NON a $\root{b}{(x^a)}$!
Chiaro?
Si però nel testo non scrivo $x^(2/3)$ ma $ root(3)(x^2)$ quindi credo che prima abbia la "precedenza" l'$x^2$ o sto dicendo un muccio di fesserie?
Ad intuito direi che siccome quando derivi [tex]\root[3]{x}[/tex] lo trasformi in [tex]x^{\frac 1 3}[/tex] per usare la formula di derivazione di [tex]x^\alpha[/tex] e quindi arrivi ad [tex]x^{-\frac 2 3}[/tex].
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