Minimo e massimo di una funzione
Buona domenica, ho dei dubbi sullo svolgimento della seguente traccia.
Trovare minimo e massimo della seguente funzione sull'intervallo [-1, 1]
\(\displaystyle f(x) = \frac{1-e^{x^2}}{x^2} \)
Ho svolto in questo modo l'esercizio:
Ho iniziato con il calcolo della derivata prima della funzione, ovvero
\(\displaystyle -2 \frac{(e^{x^2} \cdot x^2 +1 -e^{x^2})}{x^3} \)
Ho trovato il suo dominio \(\displaystyle Dom f'(x) = R \setminus \{ 0 \} \)
A questo punto sono andato a cercare dove la derivata si annulla con \(\displaystyle f'(x) = 0 \)
L'unica soluzione trovata è proprio per \(\displaystyle x = 0 \), che è anche un punto di non derivabilità.
Arrivato a questo punto vado a calcolare la funzione nei due estremi dell'intervallo.
\(\displaystyle x = -1 \Rightarrow 1-e \)
\(\displaystyle x = 1 \Rightarrow 1-e \)
e vado a fare il limite quale
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{1-e^{x^2}}{x^2} \)
che risolto con Taylor mi da \(\displaystyle -1 \)
Volevo dunque sapere se il ragionamento impiegato risulti corretto.
Grazie e, ancora, buona domenica!
Trovare minimo e massimo della seguente funzione sull'intervallo [-1, 1]
\(\displaystyle f(x) = \frac{1-e^{x^2}}{x^2} \)
Ho svolto in questo modo l'esercizio:
Ho iniziato con il calcolo della derivata prima della funzione, ovvero
\(\displaystyle -2 \frac{(e^{x^2} \cdot x^2 +1 -e^{x^2})}{x^3} \)
Ho trovato il suo dominio \(\displaystyle Dom f'(x) = R \setminus \{ 0 \} \)
A questo punto sono andato a cercare dove la derivata si annulla con \(\displaystyle f'(x) = 0 \)
L'unica soluzione trovata è proprio per \(\displaystyle x = 0 \), che è anche un punto di non derivabilità.
Arrivato a questo punto vado a calcolare la funzione nei due estremi dell'intervallo.
\(\displaystyle x = -1 \Rightarrow 1-e \)
\(\displaystyle x = 1 \Rightarrow 1-e \)
e vado a fare il limite quale
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{1-e^{x^2}}{x^2} \)
che risolto con Taylor mi da \(\displaystyle -1 \)
Volevo dunque sapere se il ragionamento impiegato risulti corretto.
Grazie e, ancora, buona domenica!
Risposte
Ciao! Una prima cosa che non torna è la seguente: affermi di dover calcolare massimo e minimo di $f$ in $[-1,1]$, ma $f$ non è definita in $0$. Quindi, così com'è, la domanda è mal posta. Che mi sai dire a riguardo? Nel senso, durante il corso il tuo docente ha detto qualcosa riguardo a situazioni del genere (in particolare, se ha parlato di estensioni di funzioni)? Oppure, la fonte da cui è preso il problema è affidabile (libri, docente) oppure lo hai trovato in rete (fonte spesso inaffidabile)?
Appena chiarito questo aspetto, torniamo sulla risoluzione dell'esercizio
.
Appena chiarito questo aspetto, torniamo sulla risoluzione dell'esercizio
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E' preso direttamente dall'esame del docente, quindi affidabile (la traccia è esattamente così come l'ho postata).
Per quanto riguarda l'estensione di funzione, credo sia stata a malapena accennata nel momento che sono state introdotte le varie tipologie di discontinuità tra cui questa che mi pare di capire ricada sotto "l'eliminabile" (sono molto arrugginito sulla cosa, quindi chiedo scusa per eventuali errori).
Per quanto riguarda l'estensione di funzione, credo sia stata a malapena accennata nel momento che sono state introdotte le varie tipologie di discontinuità tra cui questa che mi pare di capire ricada sotto "l'eliminabile" (sono molto arrugginito sulla cosa, quindi chiedo scusa per eventuali errori).
Ok! Il punto è che, ignorando il fatto che $f$ non è definita in $0$ e procedendo automaticamente con il calcolo della derivata, alcune informazioni che deduci sono in contraddizione tra loro. Ad esempio, dici che $f$ è derivabile in $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, quindi mi sembra ragionevole assumere che tu abbia interpretato questa informazione escludendo la derivabilità di $f$ in $x=0$ (e fin qui sono d'accordo, visto che $f$ non è definita in $0$ e quindi, "non esistendo" in $x=0$, chiaramente $f$ non è neanche derivabile in $x=0$), ma poi affermi che la derivata si annulla in $x=0$. Come fa la derivata ad annullarsi in un punto in cui la funzione non è definita e quindi, a maggior ragione, in quel punto non è derivabile? Se non è derivabile in quel punto, la derivata non esiste. Quindi la derivata, non esistendo in quel punto, non può annullarsi in quel punto. E, infatti, se sostituisci $x=0$ nell'espressione della derivata ottieni $0/0$ che non è definito. Non ottieni che è $0$. Qui, probabilmente, hai studiato $f'(x)=0$ cancellando il denominatore $x^3$ e hai studiato gli zeri del numeratore della derivata, perdendoti per strada il fatto che quel denominatore cancellato ti esclude dei valori.
Ti ho chiesto la fonte perché, secondo me, le possibilità sono due:
(i) Il docente ha detto, ad un certo punto del corso, che se una certa funzione $f$ non è definita in un numero finito di punti di un certo insieme $A$ ma in questi punti esiste finito il limite della funzione (come per $f$ in $x=0$), la richiesta: "Trovare massimo e minimo di $f$ in $A$" va interpretata come: "Trovare massimo e minimo del prolungamento di $f$ in $A$;
(ii) il testo dell'esercizio, seppur preso da un esame (che, purtroppo, nonostante il contesto non è garanzia di precisione) è scritto con i piedi.
Qualunque delle due sia, l'unico modo per rendere sensato questo esercizio è introdurre il prolungamento in $x=0$ di $f$ ristretto a $[-1,1]$; $f$ ha come dominio naturale $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, quindi poniamo $f(0):=\lim_{x \to 0} f(x)=-1$ e otteniamo una funzione definita su $\mathbb{R}$ che, a sua volta, restringiamo in $[-1,1]$. Otteniamo quindi un'altra funzione $g:[-1,1] \to \mathbb{R}$ definita ponendo:
$$g(x):=\begin{cases} f(x), \ \text{se} \ x \in [-1,1]\setminus\{0\} \\ -1, \ \text{se} \ x=0 \end{cases}$$
Ora ha senso chiedere: "Calcolare massimo e minimo di $g$ in $[-1,1]$".
Puoi ora dimostrare che effettivamente $g$ è derivabile in $0$ e che $g'(0)=0$, per poi procedere come hai fatto tu. Perciò, in conclusione, il tuo approccio è operativamente corretto ma trascura fatti teorici importanti come assicurarsi che in certi punti le funzioni siano definite.
Ti ho chiesto la fonte perché, secondo me, le possibilità sono due:
(i) Il docente ha detto, ad un certo punto del corso, che se una certa funzione $f$ non è definita in un numero finito di punti di un certo insieme $A$ ma in questi punti esiste finito il limite della funzione (come per $f$ in $x=0$), la richiesta: "Trovare massimo e minimo di $f$ in $A$" va interpretata come: "Trovare massimo e minimo del prolungamento di $f$ in $A$;
(ii) il testo dell'esercizio, seppur preso da un esame (che, purtroppo, nonostante il contesto non è garanzia di precisione) è scritto con i piedi.
Qualunque delle due sia, l'unico modo per rendere sensato questo esercizio è introdurre il prolungamento in $x=0$ di $f$ ristretto a $[-1,1]$; $f$ ha come dominio naturale $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, quindi poniamo $f(0):=\lim_{x \to 0} f(x)=-1$ e otteniamo una funzione definita su $\mathbb{R}$ che, a sua volta, restringiamo in $[-1,1]$. Otteniamo quindi un'altra funzione $g:[-1,1] \to \mathbb{R}$ definita ponendo:
$$g(x):=\begin{cases} f(x), \ \text{se} \ x \in [-1,1]\setminus\{0\} \\ -1, \ \text{se} \ x=0 \end{cases}$$
Ora ha senso chiedere: "Calcolare massimo e minimo di $g$ in $[-1,1]$".
Puoi ora dimostrare che effettivamente $g$ è derivabile in $0$ e che $g'(0)=0$, per poi procedere come hai fatto tu. Perciò, in conclusione, il tuo approccio è operativamente corretto ma trascura fatti teorici importanti come assicurarsi che in certi punti le funzioni siano definite.
Se non è troppo un disturbo vorrei chiarire questa parte:
E' stato spiegato così e quindi ci sono andato un pò ad occhi chiusi. Volendolo fare nel modo "corretto" come dovrei procedere in questo caso?
In ogni caso, grazie mille per la risposta e soprattutto per avermi chiarito alcuni dubbi su questa tipologia di esercizio!
"Mephlip":
Qui, probabilmente, hai studiato $f'(x)=0$ cancellando il denominatore $x^3$ e hai studiato gli zeri del numeratore della derivata, perdendoti per strada il fatto che quel denominatore cancellato ti esclude dei valori.
E' stato spiegato così e quindi ci sono andato un pò ad occhi chiusi. Volendolo fare nel modo "corretto" come dovrei procedere in questo caso?
In ogni caso, grazie mille per la risposta e soprattutto per avermi chiarito alcuni dubbi su questa tipologia di esercizio!
Prego! Nessun disturbo, ci mancherebbe. Chiedi pure tutto quello che vuoi, al massimo ti rispondo qualche ora dopo se sono occupato.
Il fatto è che gli zeri di una generica funzione $\frac{A(x)}{B(x)}$ coincidono con gli zeri del suo numeratore $A(x)$ solo per gli $x$ tali che $B(x) \ne 0$. Facciamo un esempio semplice: immagina di voler determinare gli zeri di $\frac{x^2-1}{x+1}$. Le soluzioni di $x^2-1=0$ sono $x=1$ oppure $x=-1$, quindi uno potrebbe essere tentato di dire che $\frac{x^2-1}{x+1}=0$ per $x=1$ oppure $x=-1$. Ma, mentre $x=1$ è uno zero solo del numeratore (e quindi conduce a $\frac{0}{2}$ che, essendo coincidente con $0 \cdot \frac{1}{2}$, vale $0$ perché $0 \cdot a=0$ per ogni $a\in\mathbb{R}$), invece $x=-1$ è uno zero anche del denominatore e perciò tale valore non azzera la frazione ma bensì conduce a $0/0$ che non è definito (causa il fatto che si lascia non definita la divisione per $0$; mi raccomando, qua non c'entrano i limiti e le forme indeterminate che sono un'altra cosa, stiamo proprio parlando di quantità nulle e non di quantità che tendono a $0$). Quindi, come hai potuto notare con questo esempio, determinare gli zeri del numeratore di una frazione e quelli della frazione stessa non è un'operazione equivalente. Invece, è equivalente determinare gli zeri di una frazione e gli zeri del numeratore sotto la condizione che essi non siano anche zeri del denominatore.
Il motivo per cui non sono equivalenti è essenzialmente il seguente: ti ricorderai sicuramente che, nei principi di equivalenza delle equazioni, non compare la moltiplicazione per $0$ ambo i membri dell'equazione ma compare la moltiplicazione per un generico numero reale diverso da $0$. Questo è dovuto al fatto che moltiplicare per $0$ ambo i membri di un'equazione non è un'operazione equivalente, in quanto trasforma uguaglianze false in uguaglianze vere (ad esempio, $1=2$ è falsa ma $0 \cdot 1=0\cdot 2$ è vera). Quindi, per passare da $\frac{A(x)}{B(x)}=0$ ad $A(x)=0$, vorresti tanto moltiplicare per $B(x)$ per cancellare il denominatore; ma per avere la garanzia che entrambe le equazioni abbiano le stesse soluzioni, devi assicurarti che $B(x) \ne 0$ in modo tale che valga il principio di equivalenza sopraccitato. Incidentalmente, le frazioni sono definite quando il denominatore è diverso da zero e perciò gli zeri della frazione e gli zeri del numeratore coincidono nel dominio della frazione.
Nella pratica: per studiare gli zeri di una frazione puoi cancellare il denominatore e studiare solo gli zeri del numeratore, tuttavia una volta trovati questi ultimi devi sempre assicurarti che appartengano al dominio della frazione.
Il fatto è che gli zeri di una generica funzione $\frac{A(x)}{B(x)}$ coincidono con gli zeri del suo numeratore $A(x)$ solo per gli $x$ tali che $B(x) \ne 0$. Facciamo un esempio semplice: immagina di voler determinare gli zeri di $\frac{x^2-1}{x+1}$. Le soluzioni di $x^2-1=0$ sono $x=1$ oppure $x=-1$, quindi uno potrebbe essere tentato di dire che $\frac{x^2-1}{x+1}=0$ per $x=1$ oppure $x=-1$. Ma, mentre $x=1$ è uno zero solo del numeratore (e quindi conduce a $\frac{0}{2}$ che, essendo coincidente con $0 \cdot \frac{1}{2}$, vale $0$ perché $0 \cdot a=0$ per ogni $a\in\mathbb{R}$), invece $x=-1$ è uno zero anche del denominatore e perciò tale valore non azzera la frazione ma bensì conduce a $0/0$ che non è definito (causa il fatto che si lascia non definita la divisione per $0$; mi raccomando, qua non c'entrano i limiti e le forme indeterminate che sono un'altra cosa, stiamo proprio parlando di quantità nulle e non di quantità che tendono a $0$). Quindi, come hai potuto notare con questo esempio, determinare gli zeri del numeratore di una frazione e quelli della frazione stessa non è un'operazione equivalente. Invece, è equivalente determinare gli zeri di una frazione e gli zeri del numeratore sotto la condizione che essi non siano anche zeri del denominatore.
Il motivo per cui non sono equivalenti è essenzialmente il seguente: ti ricorderai sicuramente che, nei principi di equivalenza delle equazioni, non compare la moltiplicazione per $0$ ambo i membri dell'equazione ma compare la moltiplicazione per un generico numero reale diverso da $0$. Questo è dovuto al fatto che moltiplicare per $0$ ambo i membri di un'equazione non è un'operazione equivalente, in quanto trasforma uguaglianze false in uguaglianze vere (ad esempio, $1=2$ è falsa ma $0 \cdot 1=0\cdot 2$ è vera). Quindi, per passare da $\frac{A(x)}{B(x)}=0$ ad $A(x)=0$, vorresti tanto moltiplicare per $B(x)$ per cancellare il denominatore; ma per avere la garanzia che entrambe le equazioni abbiano le stesse soluzioni, devi assicurarti che $B(x) \ne 0$ in modo tale che valga il principio di equivalenza sopraccitato. Incidentalmente, le frazioni sono definite quando il denominatore è diverso da zero e perciò gli zeri della frazione e gli zeri del numeratore coincidono nel dominio della frazione.
Nella pratica: per studiare gli zeri di una frazione puoi cancellare il denominatore e studiare solo gli zeri del numeratore, tuttavia una volta trovati questi ultimi devi sempre assicurarti che appartengano al dominio della frazione.
Chiarissimo, grazie infinite per l'aiuto. Ti auguro una serata!
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