Minimo e massimo

[dark.hero]

mi aiutate con questo esercizio per favore?

$ g(x,y)=(x^2+y^2+1)^2 $
$ D={(x,y) in R^2 : |x|+|y|=sqrt(2) } $

determinare il minimo, il massimo ed i punti in cui sono assunti

[stefano_89]

il dominio è un quadrato di lato 2, le cui diagonali giacciono sugli assi cartesiani, prova a studiare i 4 lati separatamente..

[dark.hero]

se sciolgo i moduli e li metto in sistema uno ad uno con la funzione va bene?

[stefano_89]

secondo te non è la stessa cosa di prendere un lato alla volta, esplicitare una variabile, mettere la funzione risultante dentro alla $g(x,y)$ e trovare l' estremo ?

[dark.hero]

perdonami. ora provo

[dark.hero]

$ |x|+|y|=sqrt(2) $

diventa

$ +x+y=sqrt(2) $
$ +x-y=sqrt(2) $
$ -x+y=sqrt(2) $
$ -x-y=sqrt(2) $


giusto?

[dark.hero]

se li sostituisco in $x^2 + y^2 +1 = 0$

ottengo sempre delta < 0

[anticristo1]

vedi prima se riesci ad annullare il gradiente di g in un punto che appartiene a D
appunto il sistema $\grad g=(0,0) $ non ha soluzioni in D ma solo in (0,0)

[dark.hero]

$\grad g=(2x,2y) $

si annulla per $x=0$ e $y=0$. ok?

[anticristo1]

edit :non ho capito che dovevi farlo solo sul vincolo

[klarence1]

"dark.hero":mi aiutate con questo esercizio per favore?

$ g(x,y)=(x^2+y^2+1)^2 $
$ D={(x,y) in R^2 : |x|+|y|=sqrt(2) } $

determinare il minimo, il massimo ed i punti in cui sono assunti

In questo caso (ed è una cosa che torna utile molte volte) forse è meglio rendersi conto del fatto che trovare massimo e minimo di $g(x,y)$ significa trovare massimo e minimo della funzione $g'(x,y)=(x^2+y^2+1)$. Quindi lo studio sul vincolo lo porti sulla funzione $g'$ che è molto più agevole. Per studiare il vincolo penso che vada bene fare caso per caso (ragionando sui valori assoluti)

[dark.hero]

ma in pratica come devo muovermi?

se sciolgo i moduli e li metto in sistema uno ad uno con la funzione mi vengono delle equazioni con delta < 0

o sbaglio?

[anticristo1]

scusa ho sbagliato

[dark.hero]

il risultato è
$ m=4 $ in $ \pm (1//sqrt(2), 1//sqrt(2)) $ e $ \pm (1//sqrt(2), -1//sqrt(2)) $
$ M=9 $ in $ \pm (sqrt(2), 0) $ e $ \pm (0, sqrt(2)) $



$\grad g=(2x,2y) $
se metto $ x+y=sqrt(2) $ nel gradiente trovo $ (sqrt(2),0) $ e $ (0,sqrt(2)) $ e $ g=(0,sqrt(2))=9 $ e $ g=(sqrt(2),0)=9 $
come faccio a dire che è punto di massimo?

[anticristo1]

scusa mi sono confuso

[dark.hero]

procedendo come ho spiegato prima per ogni equazione del modulo ottengo i punti di massimo in g=9 (che non so come fare a stabilire che sono di massimo).

come posso fare per trovare gli altri punti?

[klarence1]

"dark.hero":
come faccio a dire che è punto di massimo?

Qui hai un vincolo abbastanza semplice perchè puoi esprimere una delle due variabili in funzione dell'altra... in questo caso se $x+y=sqrt(2)$ allora $y=sqrt(2)-x$... quindi basta che vai a sostituire nella funzione alla $y$ l'espressione che ti sei ricavato. In questo caso la nostra $g'$ viene $g'(x)= (sqrt(2)-x)^2+x^2+1$ che è una funzione di una variabile e puoi studiarla sfruttando la derivata. E ricorda una cosa : la nostra $g'$ serve SOLO a ricavare più facilmente i punti di massimo e di minimo di $g$ e non I VALORI di massimo e di minimo per $g$.

[dark.hero]

grazie ci sono riuscito!

[anticristo1]

per dire se è di massimo o minimo trovi prima tutti i punti poi li vai a sostituire nella funzione il valore più grande è il massimo di f e il più piccolo il minimo di f