Minimo di un funzionale integrale
Ciao, vi chiedo aiuto per dimostrare che il seguente funzionale integrale
$ 1/a int_(-a)^(a) $
ammette minimo per $ u(x)= sqrt{a^2 - x^2} $
grazie mille
$ 1/a int_(-a)^(a)
ammette minimo per $ u(x)= sqrt{a^2 - x^2} $
grazie mille
Risposte
Puoi usare le equazioni di Eulero-Lagrange tenendo conto de fatto che, essendo la lagrangiana convessa in $u'$, esse sono condizioni necessarie e sufficienti per la minimalità delle soluzioni.
(Per inciso, la soluzione non è unica, visto che in assenza di condizioni al bordo anche tutte le funzioni del tipo $u(x) + c$, dove $u$ è la funzione da te indicata e $c\in RR$, sono soluzioni.)
(Per inciso, la soluzione non è unica, visto che in assenza di condizioni al bordo anche tutte le funzioni del tipo $u(x) + c$, dove $u$ è la funzione da te indicata e $c\in RR$, sono soluzioni.)
grazie... non so se riuscirò a saltarci fuori ma grazie davvero.. ne approfitto per un altro suggerimento
devo dimostrare anche che l'ugualianza nell'espressione
$ frac{1}{2} int_{0}^{pi}{y^2 + 1 + y'^2 ds} = frac{p}{2} $
con y(0)=y(pi)=0
si ottiene per
$ y = x' sqrt{1-y'^2} $
grazie grazie grazie
devo dimostrare anche che l'ugualianza nell'espressione
$ frac{1}{2} int_{0}^{pi}{y^2 + 1 + y'^2 ds} = frac{p}{2} $
con y(0)=y(pi)=0
si ottiene per
$ y = x' sqrt{1-y'^2} $
grazie grazie grazie
Per il primo esercizio scriviti le equazioni di Eulero-Lagrange e vedrai che non è difficile venirne fuori.
Per il secondo non è chiaro il testo.
Se il "$p$" che compare a secondo membro è in realtà $\pi$, allora l'unica funzione che soddisfi quell'uguaglianza è la funzione identicamente nulla.
Viceversa, scrivi correttamente il testo...
Per il secondo non è chiaro il testo.
Se il "$p$" che compare a secondo membro è in realtà $\pi$, allora l'unica funzione che soddisfi quell'uguaglianza è la funzione identicamente nulla.
Viceversa, scrivi correttamente il testo...
Ti riassumo brevemente il problema...
devo dimostrare il problema isoperimetrico, ovvero una qualsiasi curva chiusa di lunghezza 2pi greco racchiude un'area minore o uguale pi greco. Devo studiare questa dimostrazioneper l'uguaglianza.
Studiando l'area sono arrivata a dire che la curva deve avere eq pari a y=k sen (s) con k costante e s che varia fra 0 e 2 pi greco.
Nel testo dopo c'è scritto
l'uguaglianza nell'espressione $ A=frac{1}{2} int_0^{pi} {y^2 +1 - y'^2}= frac {pi}{2} $
si ottiene solamente nel caso in cui
$ y=x' sqrt{1-y'^2} $ (passaggio che non ho capito)
(con x'^2+y'^2=1) ovvero y(s)= +- sen(s)
devo dimostrare il problema isoperimetrico, ovvero una qualsiasi curva chiusa di lunghezza 2pi greco racchiude un'area minore o uguale pi greco. Devo studiare questa dimostrazioneper l'uguaglianza.
Studiando l'area sono arrivata a dire che la curva deve avere eq pari a y=k sen (s) con k costante e s che varia fra 0 e 2 pi greco.
Nel testo dopo c'è scritto
l'uguaglianza nell'espressione $ A=frac{1}{2} int_0^{pi} {y^2 +1 - y'^2}= frac {pi}{2} $
si ottiene solamente nel caso in cui
$ y=x' sqrt{1-y'^2} $ (passaggio che non ho capito)
(con x'^2+y'^2=1) ovvero y(s)= +- sen(s)
Anche scritto così non è molto comprensibile.
Stai cercando una curva piana $(x(s), y(s))$, $s\in [0, 2\pi]$, chiusa, di lunghezza $2\pi$, che massimizzi l'area racchiusa?
La stai già pensando parametrizzata in parametro arco, cioè tale che $(x')^2+(y')^2 = 1$?
Stai cercando una curva piana $(x(s), y(s))$, $s\in [0, 2\pi]$, chiusa, di lunghezza $2\pi$, che massimizzi l'area racchiusa?
La stai già pensando parametrizzata in parametro arco, cioè tale che $(x')^2+(y')^2 = 1$?
si esatto
Continua a mancare qualcosa per poterti rispondere.
L'uguaglianza che tu hai scritto equivale a $\int_0^{\pi} (y^2 - (y')^2) = 0$, che è soddisfatta da qualsiasi funzione del tipo $y(s) = k \sin s$.
L'uguaglianza che tu hai scritto equivale a $\int_0^{\pi} (y^2 - (y')^2) = 0$, che è soddisfatta da qualsiasi funzione del tipo $y(s) = k \sin s$.
non so..io pensavo a questo punto di sfruttare il fatto ce la lunghezza deve essere pari a pi greco imponendo
$ 2 pi = int_0^{2pi}{sqrt{1+(kcoss)^2}ds} $
ma non rieco a risolverlo
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