Minimo assoluto di una funzione

[Antimius]

Ho una funzione a due variabili $f(x,y)=2(x^4+y^4+1)-(x+y)^2$.
Ho studiato il gradiente e l'Hessiano. I punti critici sono $(0,0)$, $(1/sqrt(2),1/sqrt(2))$, $(-1/sqrt(2),-1/sqrt(2))$.
Nel primo punto, la matrice è semidefinita negativa, ma $f(x,-x)=4x^2+2>2=f(0,0)$: $(0,0)$ non è né un punto di massimo né di minimo. Fin qui mi sembra tutto corretto a meno che non mi sono perso qualcosa
Gli altri due punti hanno uguale matrice hessiana, che è definita positiva, quindi i punti sono di minimo relativo e la funzione in tali punti vale $f(x,y)=1$.
Ora mi chiede di specificare se tali punti sono di minimo assoluto o meno.
Ho provato con la disequazione $f(x,y)>=1$ e l'ho trasformata così: $2x^4+2y^4-(x+y)^2>=-1$. Volevo proseguire, cercando di minorare la quantità a sinistra per dimostrare la disuguaglianza, ma non riesco a fare nulla -_-
Qualcuno ha un hint? Grazie!

EDIT: $2x^4+2y^4-(x+y)^2>=2x^4+2y^4-4x^2y^2-(x+y)^2=2(x^2-y^2)^2-(x+y)^2=2(x+y)^2(x-y)^2-(x+y)^2>=0hArr|x-y|>=1/sqrt(2)$. E quindi per quei valori è automaticamente anche maggiore di $-1$. Ma non riesco a sistemarlo per gli altri (O eventualmente devo trovare un controesempio, ma mi verrebbe più da dire che il minimo è assoluto)

[deserto1]

"Antimius":Ho una funzione a due variabili $f(x,y)=2(x^4+y^4+1)-(x+y)^2$.
Ho studiato il gradiente e l'Hessiano. I punti critici sono $(0,0)$, $(1/sqrt(2),1/sqrt(2))$, $(-1/sqrt(2),-1/sqrt(2))$.
Nel primo punto, la matrice è semidefinita negativa, ma $f(x,-x)=4x^4+2>2=f(0,0)$: $(0,0)$ non è né un punto di massimo né di minimo. Fin qui mi sembra tutto corretto a meno che non mi sono perso qualcosa.

Per dire che $(0,0)$ non è né un punto di massimo né di minimo dovresti anche trovare un $k$ per il quale $f(x,kx)

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[Antimius]

Ma la possibilità che il punto sia di minimo l'ho escluso già perché l'hessiana è semidefinita negativa.

[Antimius]

Rinnovo la richiesta di aiuto. Non ne sono più uscito :S

[Rigel1]

Per quanto riguarda l'origine:
1) $f(x, -x) = 4x^4+2$, quindi $f(x, -x) > f(0, 0)$ per ogni $x\ne 0$;
2) $f(x,0) = 2x^4 + 2-x^2$, quindi questa restrizione ha un punto di massimo locale per $x=0$.

[Antimius]

Ehm, non ho capito cosa posso concludere.

[Rigel1]

Se in una direzione c'è un massimo e in un'altra c'è un minimo, cosa potrai concludere?

[Antimius]

Sì, me ne sono reso conto. Avevo letto una cosa per un'altra -_- Grazie!