Minimi vincolati e metodo di penalizzazione
Qui si va nello specialistico, quindi non mi aspetto risposte... Ma tentar non nuoce.
Ah, come al solito, la domanda è alla fine!
Ci sono delle tecniche classiche per provare a determinare una soluzione dei problemi di minimo vincolato nel CdV (o anche in Programmazione Nonlineare o PNl): la più famosa forse è il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Tuttavia in PNl ci sono anche altri metodi, detti metodi di penalizzazione che operano più o meno come segue: se voglio trovare la soluzione (supposta esistente) di:
([tex]P[/tex]) [tex]\min \{ f(x), \text{ con } x\in X \text{ ed } h(x)=0 \}[/tex],
ove [tex]X\subseteq \mathbb{R}^N[/tex] è almeno chiuso, [tex]f:X\to \mathbb{R}[/tex] è continua (e divergente per [tex]|x|\to +\infty[/tex], se [tex]X[/tex] è non limitato), [tex]h:X\to \mathbb{R}[/tex] è pure lei continua, posso "eliminare" il vincolo e considerare la successione di problemi "liberi":
([tex]P_n[/tex]) [tex]\min \{ f(x) + c_n\cdot |h(x)|, \text{ con } x\in X\}[/tex]
ove [tex]c_n \nearrow +\infty[/tex] (di solito si scelgono successioni abbastanza divergenti, tipo [tex]c_n:=\alpha 2^n[/tex] con [tex]\alpha >0[/tex]); se riesco a risolvere ognuno dei problemi di minimo della successione ([tex]P_n[/tex]), determino una successione [tex](x_n) \subseteq X[/tex] per cui ho [tex]|h(x_n)|\to 0[/tex], quindi un qualsiasi [tex]\bar{x}[/tex] che sia punto limite di [tex](x_n)[/tex] è una soluzione del problema originario ([tex]P[/tex]).
Insomma l'idea base del metodo è dare un peso alla "distanza dal vincolo", in modo che la lontananza dal vincolo [tex]h(x)=0[/tex] pesi molto per il problema ([tex]P_n[/tex]) al crescere di [tex]n[/tex]: in tal modo il minimante [tex]x_n[/tex] di ([tex]P_n[/tex]), per [tex]n[/tex] grande, è molto vicino al vincolo del problema ([tex]P[/tex]), cosicché passando al limite riesco a trovare una soluzione [tex]\bar{x}[/tex] di ([tex]P[/tex]).
La dimostrazione del fatto che ciò funzioni è basata, essenzialmente, sulla continuità di [tex]f[/tex] ed [tex]h[/tex] e su qualcosa di simile al Teorema di Bolzano-Weierstrass; quest'ultima cosa mi pare renda difficile (o comunque non immediata) l'estensione del risultato a spazi di funzioni che si usano nel CdV.
Ad ogni modo, mi chiedevo: questi metodi sono applicabili anche a problemi di CdV?
E, in caso affermativo, conoscete qualche testo su cui reperire delle informazioni (più o meno) organiche in materia?
Ah, come al solito, la domanda è alla fine!
Ci sono delle tecniche classiche per provare a determinare una soluzione dei problemi di minimo vincolato nel CdV (o anche in Programmazione Nonlineare o PNl): la più famosa forse è il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Tuttavia in PNl ci sono anche altri metodi, detti metodi di penalizzazione che operano più o meno come segue: se voglio trovare la soluzione (supposta esistente) di:
([tex]P[/tex]) [tex]\min \{ f(x), \text{ con } x\in X \text{ ed } h(x)=0 \}[/tex],
ove [tex]X\subseteq \mathbb{R}^N[/tex] è almeno chiuso, [tex]f:X\to \mathbb{R}[/tex] è continua (e divergente per [tex]|x|\to +\infty[/tex], se [tex]X[/tex] è non limitato), [tex]h:X\to \mathbb{R}[/tex] è pure lei continua, posso "eliminare" il vincolo e considerare la successione di problemi "liberi":
([tex]P_n[/tex]) [tex]\min \{ f(x) + c_n\cdot |h(x)|, \text{ con } x\in X\}[/tex]
ove [tex]c_n \nearrow +\infty[/tex] (di solito si scelgono successioni abbastanza divergenti, tipo [tex]c_n:=\alpha 2^n[/tex] con [tex]\alpha >0[/tex]); se riesco a risolvere ognuno dei problemi di minimo della successione ([tex]P_n[/tex]), determino una successione [tex](x_n) \subseteq X[/tex] per cui ho [tex]|h(x_n)|\to 0[/tex], quindi un qualsiasi [tex]\bar{x}[/tex] che sia punto limite di [tex](x_n)[/tex] è una soluzione del problema originario ([tex]P[/tex]).
Insomma l'idea base del metodo è dare un peso alla "distanza dal vincolo", in modo che la lontananza dal vincolo [tex]h(x)=0[/tex] pesi molto per il problema ([tex]P_n[/tex]) al crescere di [tex]n[/tex]: in tal modo il minimante [tex]x_n[/tex] di ([tex]P_n[/tex]), per [tex]n[/tex] grande, è molto vicino al vincolo del problema ([tex]P[/tex]), cosicché passando al limite riesco a trovare una soluzione [tex]\bar{x}[/tex] di ([tex]P[/tex]).
La dimostrazione del fatto che ciò funzioni è basata, essenzialmente, sulla continuità di [tex]f[/tex] ed [tex]h[/tex] e su qualcosa di simile al Teorema di Bolzano-Weierstrass; quest'ultima cosa mi pare renda difficile (o comunque non immediata) l'estensione del risultato a spazi di funzioni che si usano nel CdV.
Ad ogni modo, mi chiedevo: questi metodi sono applicabili anche a problemi di CdV?
E, in caso affermativo, conoscete qualche testo su cui reperire delle informazioni (più o meno) organiche in materia?
Risposte
Non so niente, a parte questo 
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/RSMUP ... 7__1_0.pdf
Con Google ho trovato:
http://books.google.it/books?id=AsL653L ... 22&f=false
http://scitation.aip.org/getabs/servlet ... s&gifs=yes
Unico commento: il metodo di penalizzazione potrebbe essere applicato (come molti altri metodi) dopo la discretizzazione del problema, i.e., dopo la sua riduzione a problema in dimensione finita.
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/RSMUP ... 7__1_0.pdf
Con Google ho trovato:
http://books.google.it/books?id=AsL653L ... 22&f=false
http://scitation.aip.org/getabs/servlet ... s&gifs=yes
Unico commento: il metodo di penalizzazione potrebbe essere applicato (come molti altri metodi) dopo la discretizzazione del problema, i.e., dopo la sua riduzione a problema in dimensione finita.
Sinceramente se dovessi scommetterci punterei sul fatto che anche in dimensione infinita la cosa funziona. Basta solo trovare le giuste continuità/chiusure che fanno al caso... non vedo forti ostruzioni che limitano la trattazione al caso della dimensione finita. Ma forse nella dimostrazione si usa in modo pesante un fatto che è vero solo in dimensione finita?
Mi stavo adattando la cosa ieri notte...
Allora in generale prendo [tex]I[/tex] s.c.i. su uno spazio di Banach [tex]X[/tex], [tex]C[/tex] continuo su [tex]X[/tex] e suppongo che esista il minimo di [tex]I[/tex] sul vincolo [tex]C=0[/tex]; pongo [tex]c_n=2^n[/tex] (per esempio), definisco [tex]I_n=I+c_n\cdot |C|[/tex] e chiamo [tex]u_n[/tex] un elemento di [tex]X[/tex] che dà il minimo ad [tex]I_n[/tex] (anche qui mi servono un po' di ipotesi per garantirmi l'esistenza).
Ora si ha [tex]\forall u \in X \text{ con } C=0,\ I= I_n[/tex], quindi per ogni \(n\) risulta:
[tex]m=\min \left\{ I ,\text{ con } u\in X \text{ e } C=0 \right\} = \min \left\{ I_n ,\text{ con } u\in X \text{ e } C=0 \right\}[/tex];
d'altra parte è [tex]I_n[u_n]\leq I_n[/tex] per [tex]u \in X[/tex] con [tex]C=0[/tex], quindi:
[tex]I[u_n]+c_n\cdot |C[u_n]|=I_n[u_n]\leq m[/tex].
Prendendo il massimo limite al primo membro si riconosce che:
(*) [tex]$\limsup_{n\to +\infty} I[u_n]+c_n\cdot |C[u_n]|\leq m$[/tex].
A questo punto dovrei passare in (*) ad un'estratta debolmente convergente, ma chi mi assicura che possa farlo?
Dovrei far vedere che [tex](u_n)[/tex] è limitata in norma, quanto meno, e sperare che [tex]X[/tex] sia riflessivo.
Ad ogni modo, passando ad un'estratta da [tex](u_n)[/tex] debolmente convergente verso [tex]\bar{u}[/tex] (non cambio gli indici), trovo per s.c.i.:
[tex]$I[\bar{u}]+\limsup_{n\to +\infty} c_n\cdot |C[u_n]|\leq \liminf_{n\to +\infty} I[u_n] +\limsup_{n\to +\infty} c_n\cdot |C[u_n]| \leq \limsup_{n\to +\infty} I[u_n] +c_n\cdot |C|\leq m$[/tex]
quindi [tex]$\limsup_{n\to +\infty} c_n\cdot |C[u_n]|<+\infty$[/tex]. Visto che [tex]|C[u_n]|\geq 0[/tex], ciò implica che [tex]$\limsup_{n\to +\infty} |C[u_n]| =0$[/tex] e perciò:
[tex]$C[\bar{u}]=\lim_{n\to +\infty} C[u_n]=0$[/tex]
e [tex]\bar{u}[/tex] sta sul vincolo del problema originario.
A questo punto ho finito, perchè osservo che l'essere [tex]m\leq I[\bar{u}][/tex] e la s.c.i. di [tex]I[/tex] implicano:
[tex]$m+\limsup_{n\to +\infty} c_n\cdot |C[u_n]|\leq I[\bar{u}]+\limsup_{n\to +\infty} c_n\cdot |C[u_n]|\leq \liminf_{n\to +\infty} I[u_n]+ \limsup_{n\to +\infty} c_n\cdot |C[u_n]|\leq \limsup_{n\to +\infty} I[u_n]+c_n\cdot |C[u_n]|\leq m$[/tex]
[tex]$\quad \Rightarrow \quad \limsup_{n\to +\infty} c_n\cdot |C[u_n]|=0$[/tex],
sicché:
[tex]$m=m+\limsup_{n\to+ \infty} c_n\cdot |C[u_n]|\leq I[\bar{u}]+\limsup_{n\to +\infty} c_n\cdot |C[u_n]|\leq m \quad \Rightarrow \quad I[\bar{u}]=m$[/tex].
Il problema è ricavare quella limitatezza in norma di \((u_n) \).
Probabilmente devo giocare con qualcosa di elementare che non riesco a vedere... Forse con la coercività, che mi assicura che [tex]|I|\to +\infty[/tex] quando [tex]\lVert u\rVert\to +\infty[/tex]?
Tuttavia il problema iniziale a cui vorrei applicare questo metodo è un po' fetente: infatti ho un funzionale che somma una parte quasi del tipo dell'area (con l'integrando convesso in [tex]Du[/tex], ma che non soddisfa la stima dal basso [tex]f(t,u,Du)\geq \alpha |Du|^p -\text{ robaccia}, \text{ con } p>1[/tex]) con una norma [tex]L^q[/tex] ed un vincolo rispetto alla norma [tex]L^{q+1}[/tex]... Quindi mi trovo in difficoltà anche nella scelta dello spazio di Sobolev giusto in cui ambientare il problema.
@FP: grazie dei link. Purtroppo non ho accesso ai giornali del SIAM dall'uni e dovrei richiedere una copia di quell'articolo.
Allora in generale prendo [tex]I[/tex] s.c.i. su uno spazio di Banach [tex]X[/tex], [tex]C[/tex] continuo su [tex]X[/tex] e suppongo che esista il minimo di [tex]I[/tex] sul vincolo [tex]C=0[/tex]; pongo [tex]c_n=2^n[/tex] (per esempio), definisco [tex]I_n=I+c_n\cdot |C|[/tex] e chiamo [tex]u_n[/tex] un elemento di [tex]X[/tex] che dà il minimo ad [tex]I_n[/tex] (anche qui mi servono un po' di ipotesi per garantirmi l'esistenza).
Ora si ha [tex]\forall u \in X \text{ con } C=0,\ I= I_n[/tex], quindi per ogni \(n\) risulta:
[tex]m=\min \left\{ I ,\text{ con } u\in X \text{ e } C=0 \right\} = \min \left\{ I_n ,\text{ con } u\in X \text{ e } C=0 \right\}[/tex];
d'altra parte è [tex]I_n[u_n]\leq I_n[/tex] per [tex]u \in X[/tex] con [tex]C=0[/tex], quindi:
[tex]I[u_n]+c_n\cdot |C[u_n]|=I_n[u_n]\leq m[/tex].
Prendendo il massimo limite al primo membro si riconosce che:
(*) [tex]$\limsup_{n\to +\infty} I[u_n]+c_n\cdot |C[u_n]|\leq m$[/tex].
A questo punto dovrei passare in (*) ad un'estratta debolmente convergente, ma chi mi assicura che possa farlo?
Dovrei far vedere che [tex](u_n)[/tex] è limitata in norma, quanto meno, e sperare che [tex]X[/tex] sia riflessivo.
Ad ogni modo, passando ad un'estratta da [tex](u_n)[/tex] debolmente convergente verso [tex]\bar{u}[/tex] (non cambio gli indici), trovo per s.c.i.:
[tex]$I[\bar{u}]+\limsup_{n\to +\infty} c_n\cdot |C[u_n]|\leq \liminf_{n\to +\infty} I[u_n] +\limsup_{n\to +\infty} c_n\cdot |C[u_n]| \leq \limsup_{n\to +\infty} I[u_n] +c_n\cdot |C|\leq m$[/tex]
quindi [tex]$\limsup_{n\to +\infty} c_n\cdot |C[u_n]|<+\infty$[/tex]. Visto che [tex]|C[u_n]|\geq 0[/tex], ciò implica che [tex]$\limsup_{n\to +\infty} |C[u_n]| =0$[/tex] e perciò:
[tex]$C[\bar{u}]=\lim_{n\to +\infty} C[u_n]=0$[/tex]
e [tex]\bar{u}[/tex] sta sul vincolo del problema originario.
A questo punto ho finito, perchè osservo che l'essere [tex]m\leq I[\bar{u}][/tex] e la s.c.i. di [tex]I[/tex] implicano:
[tex]$m+\limsup_{n\to +\infty} c_n\cdot |C[u_n]|\leq I[\bar{u}]+\limsup_{n\to +\infty} c_n\cdot |C[u_n]|\leq \liminf_{n\to +\infty} I[u_n]+ \limsup_{n\to +\infty} c_n\cdot |C[u_n]|\leq \limsup_{n\to +\infty} I[u_n]+c_n\cdot |C[u_n]|\leq m$[/tex]
[tex]$\quad \Rightarrow \quad \limsup_{n\to +\infty} c_n\cdot |C[u_n]|=0$[/tex],
sicché:
[tex]$m=m+\limsup_{n\to+ \infty} c_n\cdot |C[u_n]|\leq I[\bar{u}]+\limsup_{n\to +\infty} c_n\cdot |C[u_n]|\leq m \quad \Rightarrow \quad I[\bar{u}]=m$[/tex].
Il problema è ricavare quella limitatezza in norma di \((u_n) \).
Probabilmente devo giocare con qualcosa di elementare che non riesco a vedere... Forse con la coercività, che mi assicura che [tex]|I|\to +\infty[/tex] quando [tex]\lVert u\rVert\to +\infty[/tex]?
Tuttavia il problema iniziale a cui vorrei applicare questo metodo è un po' fetente: infatti ho un funzionale che somma una parte quasi del tipo dell'area (con l'integrando convesso in [tex]Du[/tex], ma che non soddisfa la stima dal basso [tex]f(t,u,Du)\geq \alpha |Du|^p -\text{ robaccia}, \text{ con } p>1[/tex]) con una norma [tex]L^q[/tex] ed un vincolo rispetto alla norma [tex]L^{q+1}[/tex]... Quindi mi trovo in difficoltà anche nella scelta dello spazio di Sobolev giusto in cui ambientare il problema.
@FP: grazie dei link. Purtroppo non ho accesso ai giornali del SIAM dall'uni e dovrei richiedere una copia di quell'articolo.
Ma non è la naturale $\Gamma$-convergenza che hai per le successioni monotone che convergono puntualmemte?
"Luca.Lussardi":
Ma non è la naturale $\Gamma$-convergenza che hai per le successioni monotone che convergono puntualmemte?
Eh? Non sono ancora così pratico...
[size=59]E, detto tra noi, io mi dovrei occupare di PDE, quindi non sono molto tecnico di CdV...
Questo problema è saltato fuori cercando una disuguaglianza isoperimetrica per creare un metodo di simmetrizzazione.[/size]
"gugo82":
Tuttavia il problema iniziale a cui vorrei applicare questo metodo è un po' fetente: infatti ho un funzionale che somma una parte quasi del tipo dell'area (con l'integrando convesso in [tex]Du[/tex], ma che non soddisfa la stima dal basso [tex]f(t,u,Du)\geq \alpha |Du|^p -\text{ robaccia}, \text{ con } p>1[/tex]) con una norma [tex]L^q[/tex] ed un vincolo rispetto alla norma [tex]L^{q+1}[/tex]... Quindi mi trovo in difficoltà anche nella scelta dello spazio di Sobolev giusto in cui ambientare il problema.
Riesumo questo thread, specificando un po' meglio.
Se ho:
\[\begin{split} I &:= \int_0^\infty \left( \sqrt{1+(u^\prime)^2} -\tfrac{1}{2} \right)\ |u|^k \\ C &:= \int_0^\infty |u|^{k+1}\end{split}\]
in quale Sobolev mi conviene ambientare il problema di minimo vincolato?
La presenza della radice mi fa propendere per \(W^{1,1}\), ma una funzione di \(W^{1,1}\) non è tenuta ad essere più sommabile di quanto è (se non erro, \(W^{1,1}(0,\infty)\) s'immerge con continuità in \(C_0(0,\infty)\)); ed inoltre \(W^{1,1}\) non è riflessivo, quindi non è detto che si riesca ad estrarre successioni convergenti da successioni limitate in norma.
La non riflessività mi frega, per lo stesso motivo, se ho intenzione di applicare in qualche modo il metodo diretto.
Non è che me ne devo andare in \(BV\) (che è ancora più brutto, ma è più adatto a problemi di natura geometrica)?
Aggiungo che io so (perchè l'ho dimostrato con la convessità ed un cambiamento di variabili) che il problema di minimo:
\[\min \left\{ \frac{I}{C^{k/(k+1)}},\ u\in C_c([0,\infty[)\cap C_{\text{piec}}^1([0,\infty[)\right\}\]
ha soluzioni (tante) decrescenti e positive, e mi chiedevo se questo fatto potesse servirmi in qualche modo.
***
EDIT: Ora che ci penso, il passaggio che mi può dare fastidio è solo il cambiamento di variabili.
Quindi il busillis sembra essere il seguente: se ho una funzione \(u\in W^{1,1}(0,\infty)\) monotona non-negativa ed una funzione \(f:[0,+\infty[\to \mathbb{R}\) continua, è lecito il cambiamento di variabili:
\[\int_0^\infty f(u(t))\ u^\prime(t)\ \text{d} t=\int_{u(0)}^{u(\infty)} f(u)\text{d} u\; ?\]
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