Minimi e massimi in due variabili
Cia a tutti volevo capire quando un minimo locale è anche un minimo globale per funzioni in due variabili.
Il procedimento che seguo è questo:
1-guardo i punti stazionari cioè impongo gradiente nullo
2-mi calcolo la matrice hessiana
3-per ogni stazionario mi calcolo detH: se è positivo guardo la traccia. se è negativo ho un punto di sella.
nel caso in cui detH>0 se trH>0 ho un minimo locale e se trH<0 ho un massimo locale.
penso che fino a qui il procedimento sia giusto però mi rimane il dubbio quando detH=0 (cioè io so studiare se lo stazionario è l'origine e lo analizzo con gli sviluppoi di taylor se servono) e poi soprattutto non riesco a capire se ho un min|max locale trovato così in che situazione sia anche un min|max globale
a titolo di esempio ho quaetsta funzione che è ho studiato completamente
f(xy)=$x^2$+$y^2$ -$x^2$$y^2$
trovo uno staionario in (0 0) in cui con l'hessiana trovo un min locale
poi ho 4 stazionari in (1 1) (-1 1) (1 -1) (-1 -1) che sn delle selle perchè detH<0
ora perchè (0 0) è un minimo locale ma nn globale?????
grazie mille in anticipo!!!!!
Il procedimento che seguo è questo:
1-guardo i punti stazionari cioè impongo gradiente nullo
2-mi calcolo la matrice hessiana
3-per ogni stazionario mi calcolo detH: se è positivo guardo la traccia. se è negativo ho un punto di sella.
nel caso in cui detH>0 se trH>0 ho un minimo locale e se trH<0 ho un massimo locale.
penso che fino a qui il procedimento sia giusto però mi rimane il dubbio quando detH=0 (cioè io so studiare se lo stazionario è l'origine e lo analizzo con gli sviluppoi di taylor se servono) e poi soprattutto non riesco a capire se ho un min|max locale trovato così in che situazione sia anche un min|max globale
a titolo di esempio ho quaetsta funzione che è ho studiato completamente
f(xy)=$x^2$+$y^2$ -$x^2$$y^2$
trovo uno staionario in (0 0) in cui con l'hessiana trovo un min locale
poi ho 4 stazionari in (1 1) (-1 1) (1 -1) (-1 -1) che sn delle selle perchè detH<0
ora perchè (0 0) è un minimo locale ma nn globale?????
grazie mille in anticipo!!!!!
Risposte
Io non sono un analista quindi penso ti risponderanno persone più esperte comunque determinare se un minimo è anche minimo globale non è, credo, una cosa semplice.
Bisogna innanzi tutto trovare tutti i minimi nel dominio e vedere se essi siamo maggiori di quello preso in considerazione e poi bisogna vedere il comportamento della funzione nei punti di accumulazione del dominio. Esattamente come nel caso di una singola variabile solo che qui i calcoli sono un po' più difficili.
Bisogna innanzi tutto trovare tutti i minimi nel dominio e vedere se essi siamo maggiori di quello preso in considerazione e poi bisogna vedere il comportamento della funzione nei punti di accumulazione del dominio. Esattamente come nel caso di una singola variabile solo che qui i calcoli sono un po' più difficili.
"Moai89":
ora perchè (0 0) è un minimo locale ma nn globale?????
$f(xy)=x^2+y^2 -x^2y^2$
$f(0;0)=0$, ma esistono x e y in cui la funzione assume valori negativi, ad esempio se $x=sqrt3$ e $y=sqrt2$ , $f(sqrt3,sqrt2)=3+2-3*2=-1$ che è minore del minimo che hai trovato con l'hessiano.
"vict85":
Io non sono un analista quindi penso ti risponderanno persone più esperte comunque determinare se un minimo è anche minimo globale non è, credo, una cosa semplice.
Bisogna innanzi tutto trovare tutti i minimi nel dominio e vedere se essi siamo maggiori di quello preso in considerazione e poi bisogna vedere il comportamento della funzione nei punti di accumulazione del dominio. Esattamente come nel caso di una singola variabile solo che qui i calcoli sono un po' più difficili.
si io i minimi li trovo tutti ma come faccio ad analizzare il comportamento nei punti di accumulazione qui? sono su tutto R2 nell'esempio
mi sa di aver capito....
se uso il teorema di weirstrass generalizzato?
cioè nell'esempio ho $\lim_{$x^2$+$y^2$ \to \infty}f(x y)$=-Infinito
quindi l'inf(f)=-oo dunque nn posso avere un minimo assoluto...
una domanda ma con questo teorema per sempio nel caso precedente mi assicurerebbe che la funzione ha un massimo no? xò nn l'ho trovato
se uso il teorema di weirstrass generalizzato?
cioè nell'esempio ho $\lim_{$x^2$+$y^2$ \to \infty}f(x y)$=-Infinito
quindi l'inf(f)=-oo dunque nn posso avere un minimo assoluto...
una domanda ma con questo teorema per sempio nel caso precedente mi assicurerebbe che la funzione ha un massimo no? xò nn l'ho trovato
Weierstrass ti parla solo dei chiusi e limitati, e sicuramente $RR$ non è limitato... nel tuo caso non c'è nè massimo nè minimo assoluti perchè ci sono alcuni assi lungo cui la funzione, tendendo la variabile a infinito, tende a $+ \infty$ e $-\infty$.
Per esempio lungo $(x, 0) \rarr +\infty$ e lungo $(x, 2) \rarr -\infty$ al tendere di x ad $\infty$.
Per esempio lungo $(x, 0) \rarr +\infty$ e lungo $(x, 2) \rarr -\infty$ al tendere di x ad $\infty$.
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