Min e max assoluti vincolati in due variabili
salve
vorrei un vostro aiuto per questo esercizio, grazie in anticipo per chi mi dedicherà il suo tempo
Classificare gli eventuali punti stazionari della funzione
$f(x,y) = x^2 (y^ 2 − e^(2x))$
nel suo insieme di definizione e determinarne gli estremi assoluti nell’insieme
$ D = {(x,y) ∈ R^2 : −2 ≤ x ≤ 0, −e^x ≤ y ≤ e^x }.$
ecco lo svolgimento
$1.$ dominio: valido su tutto $R^2$
$2.$ calcolo delle derivate
$ f'_{x}=-2 e^(2 x) x-2 e^(2 x) x^2+2 x y^2= 2 x (-e^(2 x) (1+x)+y^2)$
$ f'_{y}= 2xy^2$
$3$ calcolo dei punti critici
$ \{ 2 x (-e^(2 x) (1+x)+y^2)=0$
$\{2xy^2=0 $ //scusate ma non riesco a fare un'unica parentesi
punti generati dal sistema
A $(0,0)$ - B$(-1,0)$ //ho controllato le sol. su wolfram, ma mi da un'ulteriore punto x=0 senza componente y
$4$ derivate parziali seconde e miste per l'hessiano
$f''_{xx}=4 x^2 (e^(2 x) (1+x)-y^2)^2$
$ f''_{yy}=4 x^4y^2$
$ f''_{xy}=f'_{yx}=4xy$
matrice hessiana con punto A(0,0)=0, quindi hessiano nullo non ci dice nulla.
matrice hessiana con punto B(-1,0)=-1/e^2<0 punto di sella
uso il metodo del segno $f(x,y)-f(0,0)= x^2 (y^ 2 − e^(2x))>=0$
disequazione risolvibile sia $<$ che $>$, quindi punto di sella .
fin qui dovrebbe essere tutto corretto...
passiamo alla seconda parte
per il max e min assoluti vincolati dovrei usare il Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
$L(x,y,\lambda)=f(x,y)-lambda(x,y)$
il problema è qui, non riesco a costruire la funzione con quel vincolo, ho trovato esempi solo con vincoli del tipo x^2+y^2=1 o cose simili.
vorrei un vostro aiuto per questo esercizio, grazie in anticipo per chi mi dedicherà il suo tempo
Classificare gli eventuali punti stazionari della funzione
$f(x,y) = x^2 (y^ 2 − e^(2x))$
nel suo insieme di definizione e determinarne gli estremi assoluti nell’insieme
$ D = {(x,y) ∈ R^2 : −2 ≤ x ≤ 0, −e^x ≤ y ≤ e^x }.$
ecco lo svolgimento
$1.$ dominio: valido su tutto $R^2$
$2.$ calcolo delle derivate
$ f'_{x}=-2 e^(2 x) x-2 e^(2 x) x^2+2 x y^2= 2 x (-e^(2 x) (1+x)+y^2)$
$ f'_{y}= 2xy^2$
$3$ calcolo dei punti critici
$ \{ 2 x (-e^(2 x) (1+x)+y^2)=0$
$\{2xy^2=0 $ //scusate ma non riesco a fare un'unica parentesi
punti generati dal sistema
A $(0,0)$ - B$(-1,0)$ //ho controllato le sol. su wolfram, ma mi da un'ulteriore punto x=0 senza componente y
$4$ derivate parziali seconde e miste per l'hessiano
$f''_{xx}=4 x^2 (e^(2 x) (1+x)-y^2)^2$
$ f''_{yy}=4 x^4y^2$
$ f''_{xy}=f'_{yx}=4xy$
matrice hessiana con punto A(0,0)=0, quindi hessiano nullo non ci dice nulla.
matrice hessiana con punto B(-1,0)=-1/e^2<0 punto di sella
uso il metodo del segno $f(x,y)-f(0,0)= x^2 (y^ 2 − e^(2x))>=0$
disequazione risolvibile sia $<$ che $>$, quindi punto di sella .
fin qui dovrebbe essere tutto corretto...
passiamo alla seconda parte
per il max e min assoluti vincolati dovrei usare il Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
$L(x,y,\lambda)=f(x,y)-lambda(x,y)$
il problema è qui, non riesco a costruire la funzione con quel vincolo, ho trovato esempi solo con vincoli del tipo x^2+y^2=1 o cose simili.
Risposte
Ciao domax
in effetti se tu metti un qualsiasi punto che abbia l'ascissa uguale a $0$ annulli il gradiente, ciò significa che non solo l'origine è un punto critico, ma tutti i punti che hanno ascissa uguale a $0$ (cioè tutto l'asse $y$) sono punti critici, aren't they?
A me piace fare lo studio del segno, spesso aiuta a risolvere le situazioni: prova a vedere se ti serve.
"domax93":
punti generati dal sistema
A $(0,0)$ - B$(-1,0)$ //ho controllato le sol. su wolfram, ma mi da un'ulteriore punto x=0 senza componente y
in effetti se tu metti un qualsiasi punto che abbia l'ascissa uguale a $0$ annulli il gradiente, ciò significa che non solo l'origine è un punto critico, ma tutti i punti che hanno ascissa uguale a $0$ (cioè tutto l'asse $y$) sono punti critici, aren't they?
A me piace fare lo studio del segno, spesso aiuta a risolvere le situazioni: prova a vedere se ti serve.
innanzitutto grazie per la risposta.
quindi ho un terzo punto C?
cordinate x=0 e y=?
quindi ho un terzo punto C?
cordinate x=0 e y=?
No hai infiniti punti critici: tutti quelli che si trovano sull'asse delle ordinate.
quindi un'ulteriore punto da analizzare $ C (0,yo) $,
per quanto riguarda max e min mi sapresti dare qualche dritta?
per quanto riguarda max e min mi sapresti dare qualche dritta?
"domax93":
quindi un'ulteriore punto da analizzare $ C (0,yo) $,
non un punto ma una retta, quella delle ordinate
"domax93":
per quanto riguarda max e min mi sapresti dare qualche dritta?
l'ho già fatto quando ti ho detto di provare a fare lo studio del segno.
quindi senza usare il metodo dei moltiplicatori.... allora provo.... grazie
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