Migliori costanti nella disuguaglianza di sobolev
Salve, ho una domanda per quanto riguarda la migliore costante nella disuguaglianza di Sobolev (per chi lo conosca mi riferisco all'articolo di Talenti 'Best costant in sobolev inequality'). La disuguaglianza che conosco è su [tex]\mathbb{R}^n[/tex] e considera funzioni che stanno in [tex]W^{1,p}(\mathbb{R}^)[/tex], [tex]||u||_{L^{p^*}} \leq ||\nabla u||_{L^p}[/tex]. Ora mi sembra di capire che nell'articolo si trovi la miglior costante per una classe più ristretta di funzioni, cioè abbastanza regolari (Lipschitz) e con un certo andamento all'infinito. Questo significa quindi che non è quella la miglior costante? Oppure quella stessa costante vale anche per tutte le funzioni in [tex]W^{1,p}(\mathbb{R}^)[/tex]?
Risposte
Non ho sottomano l'articolo, ma il punto chiave è sicuramente il fatto che la classe di funzioni $F$ su cui si fanno i conti è densa in $E:=W^{1,p}$.
Se infatti $K_F="inf"\{K : ||u||_{L^{p^*}}\le K||u||_{E},\forall u\in F\}$ e $K_E="inf"\{K : ||u||_{L^{p^*}}\le K||u||_{E}, \forall u\in E \}$
è chiaro in generale che $K_F\le K_E$. Se però le funzioni di $E$ si possono approssimare (in $E$) con elementi di $F$, si ricava che $ ||u||_{L^{p^*}}\le K_F||u||_{E}$ per ogni $u$ in $E$, e quindi $K_E=K_F$.
Se infatti $K_F="inf"\{K : ||u||_{L^{p^*}}\le K||u||_{E},\forall u\in F\}$ e $K_E="inf"\{K : ||u||_{L^{p^*}}\le K||u||_{E}, \forall u\in E \}$
è chiaro in generale che $K_F\le K_E$. Se però le funzioni di $E$ si possono approssimare (in $E$) con elementi di $F$, si ricava che $ ||u||_{L^{p^*}}\le K_F||u||_{E}$ per ogni $u$ in $E$, e quindi $K_E=K_F$.
Ok grazie mille! Sono funzioni Lipschitziane che tendono a zero all'infinito abbastanza rapidamente da essere [tex]W^{1,p}(\mathbb{R}^n)[/tex], quindi direi [tex]W^{1,p}(\mathbb{R}^n) \cap \{ Lipschitz che tendono a zero all'infinito\}[/tex]. Sono dense in [tex]W^{1,p}(\mathbb{R}^n)[/tex]? Io conosco solo risultati di densità per funzioni regolari a supporto compatto..
@balestrav: Toh, guarda... Qualcuno che mi cita uno dei primi articoli che ho studiato al dottorato. XD
Tanto per curiosità, come ci sei incappato?
Tra l'altro ora non ce l'ho nemmeno sotto mano, ma mi pare che il succo sia quello scritto da VG (chi non muore...) cioè Talenti dimostra la disuguaglianza di Sobolev con la costante ottimale in un sottospazio denso in \(W^{1,p}(\mathbb{R}^N)\).
Supponiamo pure che lo faccia per funzioni della classe \(X:=C^{0,1}(\mathbb{R}^N)\cap W^{1,p}(\mathbb{R}^N)\) (ossia Lipschitz e sufficientemente buone da essere pure Sobolev); dato che \(C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\subseteq C^{0,1}(\mathbb{R}^N)\) (infatti, se una funzione è \(C_c^\infty\), allora pure le sue derivate sono \(C_c^\infty\) e dunque il modulo del gradiente è dotato di massimo assoluto in \(\mathbb{R}^N\); conseguentemente la funzione è Lipschitz) è evidente che \(C_c^\infty \subseteq X\), sicché anche \(X\) è densa in \(W^{1,p} (\mathbb{R}^N)\).
Tanto per curiosità, come ci sei incappato?
Tra l'altro ora non ce l'ho nemmeno sotto mano, ma mi pare che il succo sia quello scritto da VG (chi non muore...) cioè Talenti dimostra la disuguaglianza di Sobolev con la costante ottimale in un sottospazio denso in \(W^{1,p}(\mathbb{R}^N)\).
Supponiamo pure che lo faccia per funzioni della classe \(X:=C^{0,1}(\mathbb{R}^N)\cap W^{1,p}(\mathbb{R}^N)\) (ossia Lipschitz e sufficientemente buone da essere pure Sobolev); dato che \(C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\subseteq C^{0,1}(\mathbb{R}^N)\) (infatti, se una funzione è \(C_c^\infty\), allora pure le sue derivate sono \(C_c^\infty\) e dunque il modulo del gradiente è dotato di massimo assoluto in \(\mathbb{R}^N\); conseguentemente la funzione è Lipschitz) è evidente che \(C_c^\infty \subseteq X\), sicché anche \(X\) è densa in \(W^{1,p} (\mathbb{R}^N)\).
Per un esame dobbiamo fare un seminario e avendo proposto io di fare qualcosa sulle tecniche di simmetrizzazione il mio prof mi ha assegnato quell'articolo su cui studiare (Non tutto ovviamente, anche perchè non è semplicissimo!!). Allora tu conoscerai di certo la risposta al mio dubbio!!
Ho editato il messaggio precedente... Vedi se ti convince. 
Ah, si certo!! Il fatto è che ho l'esame dopodomani e mi sto rincitrullendo! Grazie!
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