Mi spiegate questo limite per favore ?

[marthy_92]

Salve a tutti stavo svolgendo un esercizio sulle serie di funzioni.
La serie è


\( \sum^{\infty} (\surd (n^2+3) - \surd ( n^2 +1)) ^ x \) definita per x >0, con n numero naturale


Ora per studiare la convergenza puntuale ho calcolato il lim per n --> + \( \infty \) della serie.
Sul libro trovo scritto che il limite fa zero e quindi la serie converge puntualmente per ogni x > 1.
Che fa 0 il limite OK, ma perchè si ha la condizione di x>1? C'entra qualche limite notevole,
non capisco quale? Chi mi aiuta ??? Grazie.

[gugo82]

Posta un po' di conti, così vediamo dove arrivi.

[marthy_92]

Non ho fatto conti praticamente, ho solo calcolato il limite.
Calcolando quel limite la base tende a zero, ma non riesco a capire perchè si deve mettere la condizione
sull'esponente x.. ovvero che il limite faccia zero per ogni x > 1 :/

[gugo82]

Hai:
\[
\begin{split}
\lim_n \left( \sqrt{n^2+3} - \sqrt{n^2+1}\right)^x &= \lim_n \exp \left( x\ \log \left( \sqrt{n^2+3} - \sqrt{n^2+1}\right) \right)\\
&= \lim_n \exp \left( x\ \log \left( \frac{1}{\sqrt{n^2+3} + \sqrt{n^2+1}}\right) \right)\\
&= 0
\end{split}
\]
per ogni \(x>0\), quindi la CN è soddisfatta per ogni \(x\) positivo.
Tuttavia è:
\[
\begin{split}
\left( \sqrt{n^2+3} - \sqrt{n^2+1} \right)^x &= \left( \frac{1}{\sqrt{n^2+3} + \sqrt{n^2+1}}\right)^x\\
&= \frac{1}{n^x}\ \left( \frac{1}{\sqrt{1+3/n^2} + \sqrt{1+1/n^2}}\right)^x\\
&\approx \frac{1}{2^x}\ \frac{1}{n^x}
\end{split}
\]
quindi la serie converge solo per \(x>1\) (confronto asintotico con la serie armonica generalizzata).

[marthy_92]

grazie 1000 gugo 82, chiarissimo