Mi sono inceppato su questa serie? A cosa la riconduco?
$ sum_(n =1 ) n*ln^2(1+1/(n^alpha)) $
La somma va da 1 a infinito e devo discutere il carattere della serie per $ alpha >0 $ .
A cosa posso ricondurre questa serie?? Criterio della radice? E poi uso Taylor? Non riesco a capire come trattare quell'indice in parentesi, non l'ho mai incontrato. Cioè se uso il criterio degli infinitesimi e sviluppo direttamente conTaylor mi vengono cose strane xD
La somma va da 1 a infinito e devo discutere il carattere della serie per $ alpha >0 $ .
A cosa posso ricondurre questa serie?? Criterio della radice? E poi uso Taylor? Non riesco a capire come trattare quell'indice in parentesi, non l'ho mai incontrato. Cioè se uso il criterio degli infinitesimi e sviluppo direttamente conTaylor mi vengono cose strane xD
Risposte
Ciao doctor...prova ad utilizzare semplicemente il criterio del confronto asintotico, non serve che utilizzi addirittura taylor sul logaritmo, ti basta il limite notevole 
poi studi la convergenza della serie asintotica "più semplice" e poi concludi su quella iniziale...dimmi se non hai capito qualcosa...
poi studi la convergenza della serie asintotica "più semplice" e poi concludi su quella iniziale...dimmi se non hai capito qualcosa...
e che cos'è il confronto asintotico?? Il libro nemmeno lo nomina :S
ah aspe forse è semplicemente il criterio del confronto e cosa devo maggiorare rispetto alla serie? Magari porre che il logaritmo al quadrato è maggiore di n?
praticamente quando te hai una serie difficile da studiare puoi "scaricare lo studio" su una serie asintotica ovvero che è una serie che all'infinito si comporta "più o meno" come la serie di partenza e più rigorosamente tale che
$lim n->\infty$ $(sn)/(bn)=1$
dove $sn$ e $bn$ sono i termini generali della serie...in questo caso, dato che quel logaritmo è un limite notevole possiamo ricondurci a questa serie asintotica:
$ sum_(n =1 ) n/n^(2alpha)$
poi studia la convergenza di questa che è facile e concludi su quella di partenza...
$lim n->\infty$ $(sn)/(bn)=1$
dove $sn$ e $bn$ sono i termini generali della serie...in questo caso, dato che quel logaritmo è un limite notevole possiamo ricondurci a questa serie asintotica:
$ sum_(n =1 ) n/n^(2alpha)$
poi studia la convergenza di questa che è facile e concludi su quella di partenza...
Ho capito il tuo procedimento ma posso proporti il mio e mi dici come va? Tra 4 giorni ho l'esame e voglio capire quanto sto inguaiato xD Allora io l'avrei risolta con il metodo degli infinitesimi e dunque Taylor allora:
Tramite il teorema ponte sappiamo che: $ log^2(1+1/(n^alpha))= (1/n^alpha - 1/(2n^(2alpha)))^2 $ (sviluppo di Taylor)
Ma a noi interessa solo fino al primo ordine e quindi $ log^2(1+1/(n^alpha))= 1/n^(2alpha) $
Ora $ lim_(x -> 0) n^((1-2alpha))* (n^(2alpha) 1/n^(2alpha)) $
Dunque affinchè la serie converga si deve avere che $ 1-2alpha >1 $ e cioè $ alpha <0 $
Sbaglio??
Tramite il teorema ponte sappiamo che: $ log^2(1+1/(n^alpha))= (1/n^alpha - 1/(2n^(2alpha)))^2 $ (sviluppo di Taylor)
Ma a noi interessa solo fino al primo ordine e quindi $ log^2(1+1/(n^alpha))= 1/n^(2alpha) $
Ora $ lim_(x -> 0) n^((1-2alpha))* (n^(2alpha) 1/n^(2alpha)) $
Dunque affinchè la serie converga si deve avere che $ 1-2alpha >1 $ e cioè $ alpha <0 $
Sbaglio??
cioè è il metodo che avrei usato all'esame ecco. Infatti il tuo l'ho capito, ma è meno immediato e non so se ci arriverei con tutta l'ansia che avrò :S
apparte che ti ripeto che non serve taylor qua, lo dimostra il fatto che tu stesso dici che basta fermarsi al primo ordine, comunque non è sbagliato ma è tempo perso quello si. Il risultato alla fine è che $2alpha-1>1$ e dunque $alpha>1$.
Apparte questo alla fine ti sei ricondotto ad una forma corretta ma hai concluso male, questo probabilmente perchè è una forma contorta
comunque prova a spezzettare le varie parti e cerca di portare gli esponenti ad un solo $n$ così è più semplice..
Apparte questo alla fine ti sei ricondotto ad una forma corretta ma hai concluso male, questo probabilmente perchè è una forma contorta
comunque prova a spezzettare le varie parti e cerca di portare gli esponenti ad un solo $n$ così è più semplice..
scusa io anche per come fai tu mi trovo sempre che converge per $ alpha<0 $ ...cosa sbaglio?
Questa è la mia serie:
$ sum_(n =1 ) n/n^(2alpha) $ dopo un operazione algebrica abbiamo $ sum_(n =1 ) 1/n^(2alpha-1) $ dunque si conclude dicendo che $2alpha-1>1$ questo perchè (come dovresti sapere) la serie converge se l'esponente al denumeratore è maggiore di $1$ in questo caso e allora $2alpha>2$ dunque $alpha>1$
adesso prendo la tua serie:$ lim_(x -> 0) n^((1-2alpha))* (n^(2alpha) 1/n^(2alpha)) $ la possiamo riscrivere come
$lim_(x->0) (n*n^(-2alpha)*n^(2alpha))/(n^(2alpha))$ perciò sapendo che $n^(-2alpha)*n^(2alpha)=1$ dato che si sommano gli esponenti, abbiamo che $lim_(x->0) (n/n^(2alpha))$ che è esattamente dove mi sono ricondotto io senza fare tutti gli "strani" passaggi che hai fatto te
da questa guarda sopra che è uguale...se non ti è ancora chiaro chiedi, ma questa roba dovrebbe essere chiarissima...non so come hai fatto a concludere dicendo che $alpha<0$
$ sum_(n =1 ) n/n^(2alpha) $ dopo un operazione algebrica abbiamo $ sum_(n =1 ) 1/n^(2alpha-1) $ dunque si conclude dicendo che $2alpha-1>1$ questo perchè (come dovresti sapere) la serie converge se l'esponente al denumeratore è maggiore di $1$ in questo caso e allora $2alpha>2$ dunque $alpha>1$
adesso prendo la tua serie:$ lim_(x -> 0) n^((1-2alpha))* (n^(2alpha) 1/n^(2alpha)) $ la possiamo riscrivere come
$lim_(x->0) (n*n^(-2alpha)*n^(2alpha))/(n^(2alpha))$ perciò sapendo che $n^(-2alpha)*n^(2alpha)=1$ dato che si sommano gli esponenti, abbiamo che $lim_(x->0) (n/n^(2alpha))$ che è esattamente dove mi sono ricondotto io senza fare tutti gli "strani" passaggi che hai fatto te
da questa guarda sopra che è uguale...se non ti è ancora chiaro chiedi, ma questa roba dovrebbe essere chiarissima...non so come hai fatto a concludere dicendo che $alpha<0$
Sbagliavo nei calcoli algebrici... Sono un idiota o no?! XD comunque grazie ancora per la tua infinita pazienza...mi hai/aiutato in un weekend non facile
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo