Mi potreste spiegare questi teorema e lemmi..
Salve a tutti, volevo chiedervi se gentilmente potreste spiegarmi il seguente teorema e i due lemmi. Grazie in anticipo.
Teorema: Ogni funzione reale razionale è integrabile mediante una combinazione lineare di funzioni razionali e di funzioni del tipo: \(\displaystyle log(ax^2+bx+c) \),\(\displaystyle arctg(ax^2+bx+c) \)
Lemma: Data la funzone razionale propria A(x)/B(x) (con A(x) e B(x) primi fra loro), se \(\displaystyle \alpha \) è radice di B(x) di molteplicità \(\displaystyle \mu \), risultano univocamente determinati una costante a ed una funzione razionale propria A1(x)/B1(x), con gr (B1(x))< gr(B(x)), tali che valga l'identità:
\(\displaystyle A(x)/B(x)= [a/(x-a)^\mu]+A1(x)/B1(x)
\)
Lemma: Data la funzone razionale propria A(x)/B(x) (con A(x) e B(x) polinomi primi fra loro) se \(\displaystyle \alpha+i\beta \) (con \(\displaystyle \beta \) diverso da 0) è una radice di B(x) di molteplicità \(\displaystyle \mu \), risultano univocamente determinate : due costanti reali b,c e una funzione razionale propria A1(x)/B1(x), con gr (B1(x))< gr(B(x))-2, tali che valga l'identità:
\(\displaystyle A(x)/B(x)= [(bx+c)/((x-\alpha)ì2+\beta^2)^\mu]+A1(x)/B1(x) \)
Gli ultimi due lemma dovrei saperli, però sinceramente con tutte queste lettere mi sono impicciato, soprattutto non riesco a capire cosa sia \(\displaystyle A1(x)/B1(x) \), insomma un chiarimento mi sarebbe molto utile.
Grazie ancora
Teorema: Ogni funzione reale razionale è integrabile mediante una combinazione lineare di funzioni razionali e di funzioni del tipo: \(\displaystyle log(ax^2+bx+c) \),\(\displaystyle arctg(ax^2+bx+c) \)
Lemma: Data la funzone razionale propria A(x)/B(x) (con A(x) e B(x) primi fra loro), se \(\displaystyle \alpha \) è radice di B(x) di molteplicità \(\displaystyle \mu \), risultano univocamente determinati una costante a ed una funzione razionale propria A1(x)/B1(x), con gr (B1(x))< gr(B(x)), tali che valga l'identità:
\(\displaystyle A(x)/B(x)= [a/(x-a)^\mu]+A1(x)/B1(x)
\)
Lemma: Data la funzone razionale propria A(x)/B(x) (con A(x) e B(x) polinomi primi fra loro) se \(\displaystyle \alpha+i\beta \) (con \(\displaystyle \beta \) diverso da 0) è una radice di B(x) di molteplicità \(\displaystyle \mu \), risultano univocamente determinate : due costanti reali b,c e una funzione razionale propria A1(x)/B1(x), con gr (B1(x))< gr(B(x))-2, tali che valga l'identità:
\(\displaystyle A(x)/B(x)= [(bx+c)/((x-\alpha)ì2+\beta^2)^\mu]+A1(x)/B1(x) \)
Gli ultimi due lemma dovrei saperli, però sinceramente con tutte queste lettere mi sono impicciato, soprattutto non riesco a capire cosa sia \(\displaystyle A1(x)/B1(x) \), insomma un chiarimento mi sarebbe molto utile.
Grazie ancora
Risposte
Praticamente il libro ti sta dando un`idea di cosa devi aspettarti quando integri indefinitamente una funzione razionale.
Ad esempio, il teorema ti dice che \(\int \frac{x^4+1}{x^{29}+\sqrt{2}\ x^{17} -\pi\ x^3}\ \text{d} x\) non puo` contenere un addendo del tipo \(\sqrt[7]{x+2}\).
Ad esempio, il teorema ti dice che \(\int \frac{x^4+1}{x^{29}+\sqrt{2}\ x^{17} -\pi\ x^3}\ \text{d} x\) non puo` contenere un addendo del tipo \(\sqrt[7]{x+2}\).
"gugo82":
Ad esempio, il teorema ti dice che \(\int \frac{x^4+1}{x^{29}+\sqrt{2}\ x^{17} -\pi\ x^3}\ \text{d} x\) non puo` contenere un addendo del tipo \(\sqrt[7]{x+2}\).
grazie gugo82 per la risposta, ma sinceramente non è che ho capito molto
potresti spiegarmelo diversamente? grazie
Riflettici un attimo.
Anzi, prova a calcolare questi integrali:
\[
\int \frac{1}{x+1}\ \text{d} x,\qquad \int \frac{\pi}{x^2+121}\ \text{d} x,\qquad \int \frac{2}{x^2-1}\ \text{d} x,\qquad \int \frac{1}{x^3+1}\ \text{d} x
\]
e poi dimmi cosa ricavi confrontando i risultati con i teoremi da te proposti.
Anzi, prova a calcolare questi integrali:
\[
\int \frac{1}{x+1}\ \text{d} x,\qquad \int \frac{\pi}{x^2+121}\ \text{d} x,\qquad \int \frac{2}{x^2-1}\ \text{d} x,\qquad \int \frac{1}{x^3+1}\ \text{d} x
\]
e poi dimmi cosa ricavi confrontando i risultati con i teoremi da te proposti.
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