Mi potreste aiutare con la teoria?
Stavo ripassando la teoria, ripassando le serie notevole sono arrivato alla serie logaritmica:
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}[/tex]
Nel dimostrare il carattere della serie si ha che converge se x=0.
Se [tex]x>0[/tex] è a termini positivi e applicando il corollario al criterio del rapporto si trova che per |x|>1 diverge, altrimenti converge se minore di 1, se uguale ad 1 si maggiora con la serie armonica se non sbaglio.
Ora il mio problema è come studiarla per [tex]|x|<-1[/tex] Come si dimostra il carattere in questo caso?
Avrei un' ulteriore richiesta, tra i criteri ce il criterio di Leibnitz, e un altro che dice che se la successione di termine generale è crescente, allora la serie è oscillante.
Non ho scritto bene la dimostrazione, non è che per caso potreste....farmi vedere come si dimostra questo criterio, cercando di fare ragionamenti nel modo più semplice possibile?
Grazie.
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}[/tex]
Nel dimostrare il carattere della serie si ha che converge se x=0.
Se [tex]x>0[/tex] è a termini positivi e applicando il corollario al criterio del rapporto si trova che per |x|>1 diverge, altrimenti converge se minore di 1, se uguale ad 1 si maggiora con la serie armonica se non sbaglio.
Ora il mio problema è come studiarla per [tex]|x|<-1[/tex] Come si dimostra il carattere in questo caso?
Avrei un' ulteriore richiesta, tra i criteri ce il criterio di Leibnitz, e un altro che dice che se la successione di termine generale è crescente, allora la serie è oscillante.
Non ho scritto bene la dimostrazione, non è che per caso potreste....farmi vedere come si dimostra questo criterio, cercando di fare ragionamenti nel modo più semplice possibile?
Grazie.
Risposte
[tex]|x|<-1[/tex]??? Non vedo come sia possibile, essendo [tex]|x| \ge 0[/tex]!
"Darèios89":
Se la successione del termine generale è crescente, allora la serie è oscillante.
Mmm... [tex]\sum_{n\ge 0} n[/tex]. Direi che la successione del termine generale è crescente, però non mi sembra che la serie sia oscillante. Forse che hai dimenticato qualche ipotesi ulteriore?
"maurer":
[quote="Darèios89"]Se la successione del termine generale è crescente, allora la serie è oscillante.
Mmm... [tex]\sum_{n\ge 0} n[/tex]. Direi che la successione del termine generale è crescente, però non mi sembra che la serie sia oscillante. Forse che hai dimenticato qualche ipotesi ulteriore?[/quote]
Non intendo applicare quel criterio alla serie che ho postato, parlo in generale del teorema, vorrei sapere la dimostrazione di quel criterio.
Avevo capito benissimo. Infatti, la serie che ho postato non era uguale alla tua. La mia era un controesempio al "teorema" di cui parli tu.
Per il criterio di Leibniz puoi leggere la dimostrazione qui. Poi se qualcosa non ti torna, possiamo parlarne qui sul forum. L'altro risultato di cui parlavi, enunciato con le tue stesse identiche parole, è falso. Quindi probabilmente ti sei dimenticato qualche ipotesi...
Per il criterio di Leibniz puoi leggere la dimostrazione qui. Poi se qualcosa non ti torna, possiamo parlarne qui sul forum. L'altro risultato di cui parlavi, enunciato con le tue stesse identiche parole, è falso. Quindi probabilmente ti sei dimenticato qualche ipotesi...
"maurer":
Avevo capito benissimo. Infatti, la serie che ho postato non era uguale alla tua. La mia era un controesempio al "teorema" di cui parli tu.
Per il criterio di Leibniz puoi leggere la dimostrazione qui. Poi se qualcosa non ti torna, possiamo parlarne qui sul forum. L'altro risultato di cui parlavi, enunciato con le tue stesse identiche parole, è falso. Quindi probabilmente ti sei dimenticato qualche ipotesi...
Si hai ragione, il teorema è per le serie a segni alterni infatti, se una serie è a segni alterni, e la succesione del termine generale |an| è crescente allora la serie è oscillante.
Per esempio...
[tex](-1)^nn[/tex]
Solo che mi servierebbe la dimostrazione del teorema...
se una serie è a segni alterni, e la succesione del termine generale |an| è crescente allora la serie è oscillante.
Ah, ok, così va meglio. Non ho mai letto la dimostrazione di questo fatto, però possiamo provarci... e qualcuno può dirci se stiamo sbagliando.
Scriviamo [tex]\alpha_n = (-1)^n a_n[/tex] dove [tex]a_n[/tex] è una serie crescente a termini positivi. Allora si ha: [tex]a_k > a_{k-1}[/tex]. Se [tex]k = 2n[/tex], allora abbiamo
[tex]a_{2n} - a_{2n-1} > 0[/tex], [tex]a_{2n-2}-a_{2n-3} > 0[/tex], ..., [tex]a_2 - a_1 > 0[/tex] e [tex]a_0 > 0[/tex] quindi
[tex]\sum_{i=0}^{2n}(-1)^i a_i = a_0 + (a_2 -a _1) + \ldots + (a_{2n-2}-a_{2n-3}) + (a_{2n}-a_{2n-1}) > 0[/tex].
D'altra parte, se [tex]k = 2n+1[/tex] allora abbiamo [tex]a_{2n+1} - a_{2n} > 0[/tex] e quindi [tex]-a_{2n+1} + a_{2n} < 0[/tex], ..., [tex]-a_1 + a_0 < 0[/tex]. Quindi
[tex]\sum_{i=0}^{2n+1}(-1)^i a_i = (-a_1 +a _0) + \ldots + (-a_{2n+1}+a_{2n}) < 0[/tex]
Quindi in conclusione, posto [tex]S_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k a_k[/tex] (la ridotta n-esima) si ha che [tex]S_n > 0[/tex] se [tex]n[/tex] è pari, [tex]S_n < 0[/tex] se [tex]n[/tex] è dispari. Di conseguenza, anche [tex]S_n[/tex] è a segni alterni, ossia la serie è oscillante.
Ti piace come dimostrazione?
Scriviamo [tex]\alpha_n = (-1)^n a_n[/tex] dove [tex]a_n[/tex] è una serie crescente a termini positivi. Allora si ha: [tex]a_k > a_{k-1}[/tex]. Se [tex]k = 2n[/tex], allora abbiamo
[tex]a_{2n} - a_{2n-1} > 0[/tex], [tex]a_{2n-2}-a_{2n-3} > 0[/tex], ..., [tex]a_2 - a_1 > 0[/tex] e [tex]a_0 > 0[/tex] quindi
[tex]\sum_{i=0}^{2n}(-1)^i a_i = a_0 + (a_2 -a _1) + \ldots + (a_{2n-2}-a_{2n-3}) + (a_{2n}-a_{2n-1}) > 0[/tex].
D'altra parte, se [tex]k = 2n+1[/tex] allora abbiamo [tex]a_{2n+1} - a_{2n} > 0[/tex] e quindi [tex]-a_{2n+1} + a_{2n} < 0[/tex], ..., [tex]-a_1 + a_0 < 0[/tex]. Quindi
[tex]\sum_{i=0}^{2n+1}(-1)^i a_i = (-a_1 +a _0) + \ldots + (-a_{2n+1}+a_{2n}) < 0[/tex]
Quindi in conclusione, posto [tex]S_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k a_k[/tex] (la ridotta n-esima) si ha che [tex]S_n > 0[/tex] se [tex]n[/tex] è pari, [tex]S_n < 0[/tex] se [tex]n[/tex] è dispari. Di conseguenza, anche [tex]S_n[/tex] è a segni alterni, ossia la serie è oscillante.
Ti piace come dimostrazione?
Mi piacerebbe pure, ma non è ancora conclusa.
Potrebbe ben darsi che [tex]$S_{2n}>0>S_{2n+1}$[/tex] epperò [tex]$S_n\to 0$[/tex], quindi la serie potrebbe ancora essere convergente.
Ma nelle ipotesi poste...
Potrebbe ben darsi che [tex]$S_{2n}>0>S_{2n+1}$[/tex] epperò [tex]$S_n\to 0$[/tex], quindi la serie potrebbe ancora essere convergente.
Ma nelle ipotesi poste...
O ben! Me ne sono dimenticato. Però si vede ad occhio (sviluppando come ho fatto nel post precedente) che [tex]S_{2n} > S_{2n-2}[/tex] e [tex]S_{2n+1} < S_{2n-1}[/tex]. Pertanto le somme parziali sono monotone e di conseguenza il limite non può esistere. In effetti, l'unico caso in cui potrebbe esistere è quello in cui tutte le somme parziali sono nulle, il che implica con ragionamento induttivo che la successione è la successione che vale costantemente 0; ma in un siffatto caso non sarebbe più possibile parlare propriamente di segni alterni.
@maurer: Pensa più semplice...
La serie non può convergere perchè non è verificata la condizione necessaria.
La serie non può convergere perchè non è verificata la condizione necessaria.
Mh...scusa, ma non seguo molto bene.
In genere i termini li considero come [tex]an, an+1[/tex] non come hai fatto tu andando all'indietro se non ho visto male.
Non sono riuscito a seguire bene il discorso sill'estratta di posto dispari....e praticamente alla fine quando troviame le estratte diverse, pechè alcue positive e altre negative perchè concludiamo che è a segni alterni e quindi è oscillante?
Soprattutto perchè se la serie è a segni alterni è oscillante?
Aspettate forse perchè sarebbe come [tex](-1)^n[/tex] che non è dotata di limite?
Ma non ho capito l'osservazione di gugo e la soluzione al problema..
In genere i termini li considero come [tex]an, an+1[/tex] non come hai fatto tu andando all'indietro se non ho visto male.
Non sono riuscito a seguire bene il discorso sill'estratta di posto dispari....e praticamente alla fine quando troviame le estratte diverse, pechè alcue positive e altre negative perchè concludiamo che è a segni alterni e quindi è oscillante?
Soprattutto perchè se la serie è a segni alterni è oscillante?
Aspettate forse perchè sarebbe come [tex](-1)^n[/tex] che non è dotata di limite?
Ma non ho capito l'osservazione di gugo e la soluzione al problema..
La serie, è una serie di potenze, e dove converge ormai lo sai, giusto? Basta che applichi il criterio della radice.
Che converge anche per $x=-1$ lo sai che perchè diventa a segno alterno con la successione dei termini della serie che convege a zero.
Il fatto che sia oscillante per $x < -1$ è perchè se sommi un numero pari di termini, hai valori positivi, mentre se sommi un numero dispari di termini hai valori negativi, ma ciò potrebbe non essere sufficiente in generale(osservazione di Gugo), di esempi ce ne sono a iosa, ma qui lo è invece, e sai perchè? Perchè le due successioni di somme parziali di cui ti parlavo, sono: monotona crescente quella a termini pari, e decrescente quella a termini dispari, e il primo termine della prima è maggiore di zero, e quello della seconda minore di zero, quindi hai che i termini della somma parziale della serie originaria saranno sempre, rispettivamente, maggiori e minori di quei due.
[edit] Comunque successivamente Maurer ha anche giustificato le sue ipotesi, su Hint di Gugo. il mio prendilo come un riassunto delle puntate precedenti.
Che converge anche per $x=-1$ lo sai che perchè diventa a segno alterno con la successione dei termini della serie che convege a zero.
Il fatto che sia oscillante per $x < -1$ è perchè se sommi un numero pari di termini, hai valori positivi, mentre se sommi un numero dispari di termini hai valori negativi, ma ciò potrebbe non essere sufficiente in generale(osservazione di Gugo), di esempi ce ne sono a iosa, ma qui lo è invece, e sai perchè? Perchè le due successioni di somme parziali di cui ti parlavo, sono: monotona crescente quella a termini pari, e decrescente quella a termini dispari, e il primo termine della prima è maggiore di zero, e quello della seconda minore di zero, quindi hai che i termini della somma parziale della serie originaria saranno sempre, rispettivamente, maggiori e minori di quei due.
[edit] Comunque successivamente Maurer ha anche giustificato le sue ipotesi, su Hint di Gugo. il mio prendilo come un riassunto delle puntate precedenti.
Azz! verissimo... ho dimostrato qualcosa di più: che partendo da una serie a segni alterni crescente in modulo e prendendo la serie delle ridotte, si ottiene un oggetto che soddisfa ancora tutte le ipotesi iniziali... curioso...
No ho capito perchè alla fine, quando diciamo che la somma parziale avrà termini positivi e negativi ed è a segni alterni, è oscillante.
Perchè fa su e giù. 
Bene....ora una cosa, nella serie logaritmica:
[tex]\frac{x^n}{n}[/tex] non so come studiare il caso x<0.
E' a segni alterni, ma non mi pare sia assolutamente convergente....come fare?
[tex]\frac{x^n}{n}[/tex] non so come studiare il caso x<0.
E' a segni alterni, ma non mi pare sia assolutamente convergente....come fare?
"Darèios89":Sei proprio sicuro?
non mi pare sia assolutamente convergente....
Mh...bè...ero convinto..studiando l'assoluta convergenza e applicando il corollario al criterio del rapporto il limite che ottengo è:
[tex]|x|[/tex] che sarà maggiore di 1, quindi non è assolutamente convergente....non so come studiarla...
[tex]|x|[/tex] che sarà maggiore di 1, quindi non è assolutamente convergente....non so come studiarla...
MA come sarà sempre maggiore di uno? Per $x\in(-1, 1)$ com'è? Poi, la condizione necessaria alla convergenza l'hai controllata? Questo dovrebbe averti fatto escludere alcuni valori di $x$ in corrispondenza dei quali la serie non converge. Alla fine della fiera, saranno solo due i valori di $x$ in cui il criterio del rapporto non ti informa, e questi te li studi a parte.
Però, Darèios, queste sono sempre le stesse cose che ti diciamo. Da un orecchio ti entrano e dall'altro ti escono. Secondo me devi applicarti di più da solo e postare di meno, ho l'impressione che il forum ti distrae e ti impedisce di apprendere bene quello che studi.
Però, Darèios, queste sono sempre le stesse cose che ti diciamo. Da un orecchio ti entrano e dall'altro ti escono. Secondo me devi applicarti di più da solo e postare di meno, ho l'impressione che il forum ti distrae e ti impedisce di apprendere bene quello che studi.
Per [tex]-1
La condizione necessaria alla convergenza l'ho controllata, ma per x<0 è verificata se non sbaglio.
Gli altri casi li ho risolti, solo il caso x<0 o meglio x<-1 mi manca..
Se la maggioro con una serie oscillante non posso concludere che oscilla vero?
La condizione necessaria alla convergenza l'ho controllata, ma per x<0 è verificata se non sbaglio.
Gli altri casi li ho risolti, solo il caso x<0 o meglio x<-1 mi manca..
Se la maggioro con una serie oscillante non posso concludere che oscilla vero?
Questo ultimo post è TUTTO sbagliato a parte
Per [tex]-1 < x < 1[/tex] convergeFacciamo finta di non averlo mai letto e riprova: la strada da seguire è quella che dicevo nel mio post precedente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo