Mi potreste aiutare con la teoria?

[Darèios89]

Stavo ripassando la teoria, ripassando le serie notevole sono arrivato alla serie logaritmica:

[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}[/tex]

Nel dimostrare il carattere della serie si ha che converge se x=0.
Se [tex]x>0[/tex] è a termini positivi e applicando il corollario al criterio del rapporto si trova che per |x|>1 diverge, altrimenti converge se minore di 1, se uguale ad 1 si maggiora con la serie armonica se non sbaglio.

Ora il mio problema è come studiarla per [tex]|x|<-1[/tex] Come si dimostra il carattere in questo caso?

Avrei un' ulteriore richiesta, tra i criteri ce il criterio di Leibnitz, e un altro che dice che se la successione di termine generale è crescente, allora la serie è oscillante.
Non ho scritto bene la dimostrazione, non è che per caso potreste....farmi vedere come si dimostra questo criterio, cercando di fare ragionamenti nel modo più semplice possibile?

Grazie.

[Darèios89]

Mh....
Allora mi sembra che la condizione necessaria alla convergenza non sia verificata per [tex]x> 1[/tex]
Per [tex]x=1[/tex] è una serie notevole quindi diverge.
Se [tex]-1
Ora rimane il caso [tex]x<0[/tex], considerando che [tex]-1

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[dissonance]

Una cosa alla volta. Quand'è che si verifica la condizione necessaria alla convergenza? Devi calcolare

[tex]$\lim_{n\to\infty} \frac{x^n}{n}[/tex] al variare di [tex]x\in \mathbb{R}[/tex].

[Darèios89]

E' verificata per [tex]x\leq 0[/tex].

[dissonance]

Prima era $x<1$, adesso è $x<=0$. Stai tirando ad indovinare? Per favore, calcola il limite del mio post precedente.

[Darèios89]

Si dovrebbe essere [tex]x<1[/tex]

Perchè se è maggiore non è verificata, mentre per [tex]0

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[dissonance]

Ancora sbagliato. Vatti a ripassare bene i limiti di successione. Se non sei completamente a tuo agio con questi argomenti è perfettamente inutile che ti cimenti con le serie.

P.S.: [tex]$\lim_{n\to \infty} \frac{x^n}{n}=\begin{cases} +\infty & x>1 \\ 0 & -1\le x \le 1 \\ \text{non esiste} & x < -1 \end{cases}[/tex]

[Darèios89]

Si ci sono sui casi, tranne su quello relativo ad [tex]x<-1[/tex]

Perchè è oscillante?

Dovrebbe essere oscillante [tex]x^n[/tex] se [tex]x<-1[/tex] ma non avrei:

[tex]x^n*\frac{1}{n}[/tex] che fa 0?

Questo non me lo so spiegare proprio...

[dissonance]

Non "fa" 0, "tende" a 0 semmai. Ma non è vero. Prova con $x=-2$, calcola qualche termine di $(x^n)/n$ e vedi che succede. Poi cerca di passare dal caso particolare al generale. E vatti a ripassare i primi capitoli del libro di analisi, dai fondamenti dei numeri reali fino ai limiti di successione. Salta una data d'esame se necessario, ma prenditi del tempo per colmare queste lacune, altrimenti non vai davvero da nessuna parte né con l'analisi né con tutta la matematica.

[Darèios89]

Pratiacamente sto intuendo che il prodotto di una successione limitata per una infinitesima funziona solo quando ho [tex](-1)^n[/tex]
Bè ma allora dato che il termine generale non ha limite posso dire che la serie è oscillante.

Quindi la mia serie di partenza diverge se [tex]x>1[/tex] converge se [tex]-1\leq x \leq1[/tex] e se [tex]x=0[/tex]

Mentre è oscillante se [tex]x<-1[/tex]

[Darèios89]

Così credo vada bene.

[dissonance]

"Darèios89":Pratiacamente sto intuendo che il prodotto di una successione limitata per una infinitesima funziona solo quando ho [tex](-1)^n[/tex]

Questa frase non ha senso. Il prodotto di una successione limitata per una infinitesima è sempre una successione infinitesima, cosa c'entra $(-1)^n$?

Quindi la mia serie di partenza diverge se [tex]x>1[/tex] converge se [tex]-1\leq x \leq1[/tex] e se [tex]x=0[/tex]

Mentre è oscillante se [tex]x<-1[/tex]

Purtroppo c'è ancora un errore. Tu dici che la serie converge per $x=1$? Controlla bene.

[Darèios89]

Si allora, ho preso troppe cantonate...

Il fatto è che [tex](-2)^n*\frac{1}{n}[/tex] l'avevo confusa con limitata per infinitesima, ma [tex](-2)^n[/tex] non è limitata, dunque il termine generale è oscillante.

Ora ristudiando la serie trovo che converge se [tex]x=0[/tex]

Per [tex]x=1[/tex] diverge perchè diventa la serie armonica semplice e diverge anche per [tex]x>1[/tex]

[tex]-1\leq x<1[/tex] converge.

Per [tex]x<-1[/tex] oscilla

[dissonance]

Oh, finalmente. Adesso è corretto.

[Darèios89]

Grazie mille dissonance.