MI DATE UNA MANO PER LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI?

[angeloweb]

MI TROVO IN DIFFICOLTà SU UNA EQUAZIONE DIFFERENZIALE......COME VADO A STUDIARE L'INTEGRALE PARTICOLARE DI QUESTA EQUAZIONE?
Y"+4Y'=1/SIN2X
MI SAPETE DARE UNA MANO.............AIUTO

[_nicola de rosa]

"angeloweb":MI TROVO IN DIFFICOLTà SU UNA EQUAZIONE DIFFERENZIALE......COME VADO A STUDIARE L'INTEGRALE PARTICOLARE DI QUESTA EQUAZIONE?
Y"+4Y'=1/SIN2X
MI SAPETE DARE UNA MANO.............AIUTO

Ma l'equazione è $y''+4y'=1/(sen(2x))$ oppure $y''+4y=1/(sen(2x))$?
Angeloweb ti risolvo $y''+4y=1/(sen(2x))$
Soluzione dell'omogenea associata: $y''+4y=0$ $->$ equazione caratteristica $a^2+4=0$ $->$ $a=+-2j$
Per cui $y_o(x)=Hcos(2x)+Ksen(2x)$
Troviamo l'integrale particolare con la formula di Lagrange:
$y_p(x)=C(x)cos(2x)+D(x)sen(2x)$
Bisogna risolvere il sistema come è noto:
${(C'(x)cos(2x)+D'(x)sen(2x)=0),(-2C'(x)sen(2x)+2D'(x)cos(2x)=1/(sen(2x))):}$
Con Cramer si risolve ottenendo:
$C'(x)=-1/2$ $->$ $C(x)=-x/2$ come primitiva
$D'(x)=cos(2x)/(2sen(2x))$ $->$ $D(x)=1/4ln|sen(2x)|$ come primitiva.
Per cui $y_p(x)=-(xcos(2x))/2+1/4sen(2x)ln|sen(2x)|$
Ora $y(x)=y_o(x)+y_p(x)=Hcos(2x)+Ksen(2x)+1/4(-2xcos(2x)+ln|sen(2x)|)$

Con lo stesso procedimento potresti risolvere $y''+4y'=1/(sen(2x))$. In tal caso
$y_o(x)=H+Ke^(-4x)$ e $y_p(x)=C(x)+D(x)e^(-4x)$
Il sistema diventa
${(C'(x)+D'(x)e^(-4x)=0),(-4D'(x)e^(-4x)=1/(sen(2x))):}$ da cui
$D'(x)=-e^(4x)/(4sen(2x))$ e $C'(x)=1/(4sen(2x))$
Ora $C'(x)=1/8*(cotg(x)+tg(x))$ per cui $C(x)=1/8*(-ln|cos(x)|+ln|sen(x)|)=1/8ln|tg(x)|$ mentre
$D(x)=int-e^(4x)/(4sen(2x))dx$ e questo è complicato.
Spero di esserti stato di aiuto.

[Luca.Lussardi]

A dire il vero nel testo sta scritta la prima.

[_nicola de rosa]

"Luca.Lussardi":A dire il vero nel testo sta scritta la prima.

Ma mi sembra strano la prima, perchè l'integrale particolare sarebbe piuttosto complicato

[Luca.Lussardi]

Beh, forse e' per questo motivo che angeloweb chiede aiuto...

[angeloweb]

GRAZIE..........SIETE COME SEMPRE ECCEZIONALI...............

[_nicola de rosa]

"angeloweb":GRAZIE..........SIETE COME SEMPRE ECCEZIONALI...............

ma quale era delle due?