Mi aiutate con questo integrale triplo?
Ciao a tutti...
Ecco la traccia dell'esercizio che ho svolto:
Calcolare il volume della regione di spazio $S$ delimitata dalla superficie cilindrica $x^2 + y^2 = 4$, dal paraboloide $z = x^2 + y^2 + 1$ e dal piano $z=2$, ovvero:
$ S = {(x, y, z) in RR^3 : x^2 + y^2 <= 4, 2<= z <= x^2 + y^2 +1} $
Ho sicuramente sbagliato qualcosa, perchè integrando per fili ottengo $9/2pi$
Mentre integrando per strati $-3/2pi$
Accenno un pò l'impostazione...
Le superfici sono:
$x^2 + y^2=4$ - cilindro
$z=x^2 + y^2 + 1$ - paraboloide
$z=2$ - piano
Dalle intersezioni so che la base del solido è data da 2 circonferenze, che per $z=2$ hanno raggi $1$ e $2$.
Mentre l'intersezione tra il cilindro e il paraboloide avviene per $z=5$.
Quindi, devo risolvere
$ int int int_(S)dx dy dz $
*per fili*
$ int int int_(S)dx dy dz = int int_(D)dx dy int_(2)^(x^2 + y^2 +1) dz =$ ($z$ varia dal piano $z=2$ al paraboloide $z=x^2 + y^2 +1$)
$ =int int_(D)(x^2 + y^2 - 1) dx dy= $ (adesso effettuo il passaggio in coordinate polari)
$ =int int_(D')(rho^2 - 1) * rho * d rho * d theta= $
$ = int_(0)^(2pi) d theta int_(1)^(2)(rho^2 - 1)*rho * d rho= $
$ = int_(0)^(2pi) d theta int_(1)^(2)(rho^3 - rho) d rho= $
Forse sbaglio qui:
$ =int_(0)^(2pi)[rho^4/4 - rho^2/2]{: ( 2 ),( 1 ) :} d theta = 9/4int_(0)^(2pi) d theta= $ $ =9/4*2pi= 9/2 pi $
???
Provo con l'altro metodo...
*per strati*
$ int int int_(S)dx dy dz= int_(2)^(5) dz int int_(D) dx dy =$
Passo anche qui alle coordinate polari
$ int_(2)^(5) dz int_(0)^(2pi) d theta int_( root(2)(z-1))^(2) rho d rho $
dove $root(2)(z-1)$ è il raggio della circonferenza data dall'intersezione del paraboloide e il piano $z$, il cui raggio varia al variare di $z$ naturalmente (nell'integrazione per strati), mentre $2$ è il raggio della circonferenza del cilindro.
E poi mi sembra che:
$ int_(2)^(5) dz int_(0)^(2pi) d theta int_((z-1)^(1/2))^(2) rho d rho = int_(2)^(5) dz int_(0)^(2pi)(2 - (z-1)/2) d theta = int_(2)^(5) (3-z)/2 * 2pi dz = pi int_(2)^(5) (3-z)dz = pi(9 - 25/2 +4/2) = -3/2pi $
Dove ho sbagliato?? Mi aiutate, per favore?
Ecco la traccia dell'esercizio che ho svolto:
Calcolare il volume della regione di spazio $S$ delimitata dalla superficie cilindrica $x^2 + y^2 = 4$, dal paraboloide $z = x^2 + y^2 + 1$ e dal piano $z=2$, ovvero:
$ S = {(x, y, z) in RR^3 : x^2 + y^2 <= 4, 2<= z <= x^2 + y^2 +1} $
Ho sicuramente sbagliato qualcosa, perchè integrando per fili ottengo $9/2pi$
Mentre integrando per strati $-3/2pi$
Accenno un pò l'impostazione...
Le superfici sono:
$x^2 + y^2=4$ - cilindro
$z=x^2 + y^2 + 1$ - paraboloide
$z=2$ - piano
Dalle intersezioni so che la base del solido è data da 2 circonferenze, che per $z=2$ hanno raggi $1$ e $2$.
Mentre l'intersezione tra il cilindro e il paraboloide avviene per $z=5$.
Quindi, devo risolvere
$ int int int_(S)dx dy dz $
*per fili*
$ int int int_(S)dx dy dz = int int_(D)dx dy int_(2)^(x^2 + y^2 +1) dz =$ ($z$ varia dal piano $z=2$ al paraboloide $z=x^2 + y^2 +1$)
$ =int int_(D)(x^2 + y^2 - 1) dx dy= $ (adesso effettuo il passaggio in coordinate polari)
$ =int int_(D')(rho^2 - 1) * rho * d rho * d theta= $
$ = int_(0)^(2pi) d theta int_(1)^(2)(rho^2 - 1)*rho * d rho= $
$ = int_(0)^(2pi) d theta int_(1)^(2)(rho^3 - rho) d rho= $
Forse sbaglio qui:
$ =int_(0)^(2pi)[rho^4/4 - rho^2/2]{: ( 2 ),( 1 ) :} d theta = 9/4int_(0)^(2pi) d theta= $ $ =9/4*2pi= 9/2 pi $
???
Provo con l'altro metodo...
*per strati*
$ int int int_(S)dx dy dz= int_(2)^(5) dz int int_(D) dx dy =$
Passo anche qui alle coordinate polari
$ int_(2)^(5) dz int_(0)^(2pi) d theta int_( root(2)(z-1))^(2) rho d rho $
dove $root(2)(z-1)$ è il raggio della circonferenza data dall'intersezione del paraboloide e il piano $z$, il cui raggio varia al variare di $z$ naturalmente (nell'integrazione per strati), mentre $2$ è il raggio della circonferenza del cilindro.
E poi mi sembra che:
$ int_(2)^(5) dz int_(0)^(2pi) d theta int_((z-1)^(1/2))^(2) rho d rho = int_(2)^(5) dz int_(0)^(2pi)(2 - (z-1)/2) d theta = int_(2)^(5) (3-z)/2 * 2pi dz = pi int_(2)^(5) (3-z)dz = pi(9 - 25/2 +4/2) = -3/2pi $
Dove ho sbagliato?? Mi aiutate, per favore?
Risposte
Anche io sto leggermente impazzendo con gli integrali tripli (ho inserito poco fa un post e nessun ancora ha risposto)
Il tuo probabilmente si può fare in questo modo. Usi le coordinate cilindriche. Da $x^2+y^2=4$ sai che $r=2$. Sai anche che $x^2+y^2=r^2$ e il paraboloide diventa $r^2+1=z$. Poni $z=t$ e ricavi $t$.
$t=1+r^2$. Gli estremi di integrazione sono $rin[0,2], tin[2,1+r^2], thetain[0,2pi]$.
$ int_(0)^(2pi) d theta int_(0)^(2)r dr int_(2)^(1+r^2) dt = 4pi$
Il tuo probabilmente si può fare in questo modo. Usi le coordinate cilindriche. Da $x^2+y^2=4$ sai che $r=2$. Sai anche che $x^2+y^2=r^2$ e il paraboloide diventa $r^2+1=z$. Poni $z=t$ e ricavi $t$.
$t=1+r^2$. Gli estremi di integrazione sono $rin[0,2], tin[2,1+r^2], thetain[0,2pi]$.
$ int_(0)^(2pi) d theta int_(0)^(2)r dr int_(2)^(1+r^2) dt = 4pi$
gugo82, non ho capito :S
Cosa ne pensi della mia risoluzione dell'integrale? Non sai quanto viene il risultato?
"pier.armeli":
Cosa ne pensi della mia risoluzione dell'integrale? Non sai quanto viene il risultato?
No, non ho il risultato! Oggi mi sono consultata con la mia professoressa, l'abbiamo rifatto insieme e ha detto che l'impostazione va benissimo, che magari c'è qualche svista...
Non sono completamente d'accordo su quella parte delle coordinate cilindriche comunque...
"~Mihaela~":
[quote="pier.armeli"]Cosa ne pensi della mia risoluzione dell'integrale? Non sai quanto viene il risultato?
No, non ho il risultato! Oggi mi sono consultata con la mia professoressa, l'abbiamo rifatto insieme e ha detto che l'impostazione va benissimo, che magari c'è qualche svista...
Non sono completamente d'accordo su quella parte delle coordinate cilindriche comunque...[/quote]
In genere quando si ha a che fare con cilindri e sfere le coordinate cilindriche e sferiche dovrebbero risultare più semplici. Certo non bisogna sbagliare ad applicarle.
Comunque non capisco perché integri rispetto al raggio tra 1 e 2 invece che tra 0 e 2.
"pier.armeli":
Anche io sto leggermente impazzendo con gli integrali tripli (ho inserito poco fa un post e nessun ancora ha risposto)
Il tuo probabilmente si può fare in questo modo. Usi le coordinate cilindriche. Da $x^2+y^2=4$ sai che $r=2$. Sai anche che $x^2+y^2=r^2$ e il paraboloide diventa $r^2+1=z$. Poni $z=t$ e ricavi $t$.
$t=1+r^2$. Gli estremi di integrazione sono $rin[0,2], tin[2,1+r^2], thetain[0,2pi]$.
$ int_(0)^(2pi) d theta int_(0)^(2)r dr int_(2)^(1+r^2) dt = 4pi$
Uhm...
Da $x^2+y^2=4$
e
$x^2+y^2+1=z$
ottengo la variazione dei raggio delle circonferenze che si ottengono in sezione orizzontale...
Ho pensato che fosse sufficiente osservare che al variare di $z$ da $2$ a $5$, il raggio della circonferenza (data dalla sezione del paraboloide e il piano) è $r= root(2)(z-1)$
Mentre il raggio dell'altra circonferenza non varia... è sempre $2$
Qundi per strati viene (dopo il passaggio alle coordinate polari):
$ int_(2)^(5) dz int_(0)^(2pi) d theta int_( root(2)(z-1))^(2) rho d rho $
Capisco. Non so però in che altro modo aiutarti. L'intervento di qualcuno più esperto potrà chiarire se il mio metodo e i tuoi sono giusti o se c'è qualcosa che non va.
Esattamente. La mia intenzione era mettere in evidenza il testo dell'esercizio, il quale è sicuramente all'interno del thread, non nel titolo (per "prevaricare" altri utenti)... Questo anche perchè spesso io stessa mi avventuro nel leggere un post, senza riuscire a mettere bene a fuoco il vero problema.
Mi dispiace non aver rispettato i canoni di correttezza. Mi sono lasciata ingannare dal fatto che non risultava esplicitamente "proibito" ingrandire il testo... Sinceramente, non ci ho proprio pensato all'analogia con l'"urlare"
Chiedo scusa.
Colorato va bene?
Mi dispiace non aver rispettato i canoni di correttezza. Mi sono lasciata ingannare dal fatto che non risultava esplicitamente "proibito" ingrandire il testo... Sinceramente, non ci ho proprio pensato all'analogia con l'"urlare"
Chiedo scusa.
Colorato va bene?
Forse ho notato qualcosa che non va!!...
Riguardo...
Riguardo...
"~Mihaela~":
Forse ho notato qualcosa che non va!!...
Riguardo...
Poi facci sapere se ti viene come quello che ho fatto io ... o comunque se ci sono variazioni ..
Vediamo...
Le superfici sono:
$x^2 + y^2=4$ - cilindro
$z=x^2 + y^2 + 1$ - paraboloide
$z=2$ - piano
$ int int int_(S)dx dy dz $
*per fili*
$ int int int_(S)dx dy dz = int int_(D)dx dy int_(2)^(x^2 + y^2 +1) dz =$ ($z$ varia dal piano $z=2$ al paraboloide $z=x^2 + y^2 +1$)
$ =int int_(D)(x^2 + y^2 - 1) dx dy= $
Potrei aver sbagliato effettuando il passaggio in coordinate polari!
Vediamo in dettaglio:
$ { ( x= rho cos theta ),( y= rho sen theta ):} $
Quindi adesso abbiamo:
$ int int_(D') (rho^2 - 1) * rho * d rho * d theta $
dove $rho^2 - 1$ è la funzione $x^2 + y^2 -1$ sostituendo $ { ( x= rho cos theta ),( y= rho sen theta ):} $
e $rho$ è lo jacopiano
Ora mi rimane da vedere come variano le incognite...
Facendo l'intersezione tra il paraboloide e il piano $z=2$, ottengo la circonferenza di raggio $1$
L'intersezione tra il cilindro e il piano, invece, è una circonferenza di raggio $2$
Quindi so che $x$ varia tra $1$ e $2$... $1<=x<=2$
E cioè: $1<= x <=2$ che in coordinate polari diventa$1<= rho <= 2$ O no?
Per questo ottengo:
$int_(0)^(2pi)d theta int_(1)^(2)(rho^2 - 1) * rho * d rho $
$theta$ varia da $0$ a $2pi$ (perchè le circonferenze sono "intere", non sono degli archi)
$rho$ invece varia tra $1$ e $2$
Perchè avendo quelle due circonferenze (nel piano), i "fili" attraverseranno quel dominio che prima avevo chiamato $D'$, cioè quella corona circolare: lo spazio fra le due circonferenze concentriche di raggio $1$ e $2$... In cui $x$, o $rho$ varia appunto tra $1$ e $2$... Ecco perchè sono questi i miei estremi di integrazione
Le superfici sono:
$x^2 + y^2=4$ - cilindro
$z=x^2 + y^2 + 1$ - paraboloide
$z=2$ - piano
$ int int int_(S)dx dy dz $
*per fili*
$ int int int_(S)dx dy dz = int int_(D)dx dy int_(2)^(x^2 + y^2 +1) dz =$ ($z$ varia dal piano $z=2$ al paraboloide $z=x^2 + y^2 +1$)
$ =int int_(D)(x^2 + y^2 - 1) dx dy= $
Potrei aver sbagliato effettuando il passaggio in coordinate polari!
Vediamo in dettaglio:
$ { ( x= rho cos theta ),( y= rho sen theta ):} $
Quindi adesso abbiamo:
$ int int_(D') (rho^2 - 1) * rho * d rho * d theta $
dove $rho^2 - 1$ è la funzione $x^2 + y^2 -1$ sostituendo $ { ( x= rho cos theta ),( y= rho sen theta ):} $
e $rho$ è lo jacopiano
Ora mi rimane da vedere come variano le incognite...
Facendo l'intersezione tra il paraboloide e il piano $z=2$, ottengo la circonferenza di raggio $1$
L'intersezione tra il cilindro e il piano, invece, è una circonferenza di raggio $2$
Quindi so che $x$ varia tra $1$ e $2$... $1<=x<=2$
E cioè: $1<= x <=2$ che in coordinate polari diventa$1<= rho <= 2$ O no?
Per questo ottengo:
$int_(0)^(2pi)d theta int_(1)^(2)(rho^2 - 1) * rho * d rho $
$theta$ varia da $0$ a $2pi$ (perchè le circonferenze sono "intere", non sono degli archi)
$rho$ invece varia tra $1$ e $2$
Perchè avendo quelle due circonferenze (nel piano), i "fili" attraverseranno quel dominio che prima avevo chiamato $D'$, cioè quella corona circolare: lo spazio fra le due circonferenze concentriche di raggio $1$ e $2$... In cui $x$, o $rho$ varia appunto tra $1$ e $2$... Ecco perchè sono questi i miei estremi di integrazione
Ho capito le scelte degli estremi di integrazione. Sembra tutto giusto. Qualcuno che già ci è passato e che ci lavora tutti i giorni con questi argomenti potrà dare chiarimenti ...
Purtroppo il problema è che non sappiamo qual è il risultato giusto!
Magari, se ha voglia, puoi proporre alla tua prof. il mio svolgimento con coordinate cilindriche .. non si sa mai, può darsi che sia corretto ...
Purtroppo il problema è che non sappiamo qual è il risultato giusto!
Magari, se ha voglia, puoi proporre alla tua prof. il mio svolgimento con coordinate cilindriche .. non si sa mai, può darsi che sia corretto ...
Bene... Oggi ho avuto la conferma (per la seconda volta) che l'impostazione va bene... ancora non so e non riesco a capire dove ho sbagliato...
Si ringrazia pier.armeli per aver cercato di aiutare... E gugo88 per avermi fatto mettere a norma il thread.
Si ringrazia pier.armeli per aver cercato di aiutare... E gugo88 per avermi fatto mettere a norma il thread.
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