Mi aiutate a capire questa maggiorazione, per favore?
Salve a tutti, in un esercizio sulle serie ho trovato questa maggiorazione sul libro, ma non riesco
a capire come ci si arriva.
La serie è $ sum^(oo ) (logn / (n^4+x^2)) $ con n numero naturale e x variabile in tutto l'insieme R
Ad un certo punto nello studio della convergenza uniforme trovo effettuata questa maggiorazione
| ( log n) / (n^4 + x^4) | <= 1/n^4 per ogni n numero naturale e per ogni x reale.
Qualcuno saprebbe spiegarmi come ci si arriva , per favore ? Grazie
a capire come ci si arriva.
La serie è $ sum^(oo ) (logn / (n^4+x^2)) $ con n numero naturale e x variabile in tutto l'insieme R
Ad un certo punto nello studio della convergenza uniforme trovo effettuata questa maggiorazione
| ( log n) / (n^4 + x^4) | <= 1/n^4 per ogni n numero naturale e per ogni x reale.
Qualcuno saprebbe spiegarmi come ci si arriva , per favore ? Grazie
Risposte
Prima di tutto si può osservare che la serie è a termini positivi ( a parte il primo, che è $log(1)/(1^2+x^2)=0$)
Si ha $x^2>=0$, dunque $n^4+x^2>=n^4$. Per cui $1/(n^4+x^2)<=1/(n^4)$
Inoltre per ogni $n in NN$ si ha $log(n)<=n$
Pertanto $sum_{n=1}^(+oo ) (logn)/(n^4+x^2)<=sum_{n=1}^(+oo ) (logn)/(n^4)<=sum_{n=1}^(+oo ) n/(n^4)=sum_{n=1}^(+oo ) 1/n^3 $
Si ha $x^2>=0$, dunque $n^4+x^2>=n^4$. Per cui $1/(n^4+x^2)<=1/(n^4)$
Inoltre per ogni $n in NN$ si ha $log(n)<=n$
Pertanto $sum_{n=1}^(+oo ) (logn)/(n^4+x^2)<=sum_{n=1}^(+oo ) (logn)/(n^4)<=sum_{n=1}^(+oo ) n/(n^4)=sum_{n=1}^(+oo ) 1/n^3 $
Aggiungo a quanto scritto da Gi8 che la maggiorazione che "trovi effettuata" è sbagliata, perché l'uso dell'esponente \(4\) a denominatore è troppo ottimistico. 
Si gugo82 
infatti ho notato che è 3 XD
E per quanto riguarda questo limite invece ?
viewtopic.php?f=36&t=120447
infatti ho notato che è 3 XDE per quanto riguarda questo limite invece ?
viewtopic.php?f=36&t=120447
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