Metriche equivalenti

[jvckie_b]

ciao a tutti, avrei un paio di domande riguardanti le metriche equivalenti.
prima di tutto vorrei iniziare con la definizione:
c'è distinzione nel dire che due metriche sono equivalenti o topologicamente equivalenti? ( la definizione di metriche equivalenti che mi è stata data è che inducono la stessa topologia) mi è capitato di leggere che la metrica d e min(d, 1) inducono la stessa topologia pur non essendo equivalenti e quindi sono alquanto confuso a riguardo.
seconda domanda: se due metriche sono equivalenti posso dire che hanno le stesse successioni convergenti (se non è vero per metriche generiche è comunque vero nel caso che la metrica sia indotta da una norma?)

[gugo82]

Usualmente, si dice che due metriche $d_1(*,*)$ e $d_2(*,*)$ sono fortemente equivalenti se esistono due costanti $0
Invece, si dice che due metriche $d_1(*,*)$ e $d_2(*,*)$ sono (topologicamente) equivalenti se esse generano la stessa topologia, i.e. se ogni palla dell’una è contenuta in una palla dell’altra e viceversa.

Si può dimostrare che una condizione sufficiente per avere equivalenza topologica è che per ogni $y in X$ esistono due costanti $0
Le due metriche $d_1(*,*)$ e $d_2(*,*) := min \{ d_1(*,*), 1\}$ sono (topologicamente) equivalenti, ma non sono fortemente equivalenti perché non esiste nessuna costante tale che $d_1(x,y) <= C d_2(x,y)$.

[jvckie_b]

grazie mille, chiarissimo.
Vorrei fare un'altra domanda a sto punto, l'equivalenza forte di due norme è sufficente per dire che se una successione è di cauchy per una metrica allora lo è anche per l'altra e viceversa?