Metrica su spazi $C^1$
Ciao a tutti,
in un libro che sto studiando si parla di "$C^1$-intorno di una funzione $f\in C^1(\R^n,\R^m)$". Il libro dà molte cose per scontate, in primis la metrica usata sullo spazio delle funzioni C^1.
Io conosco la seguente definizione di $C^1$-intorno:
"sottoinsieme di $C^1(\R^n,\R^m)$ contenente, per qualche $\epsilon>0$, l'insieme
$\{g\in C^1(\R^n,\R^m)|\sum_{i=1}^n \text{sup}_{x\in\R^n}(|g_i(x)-f_i(x)|+|\nabla g_i(x)-\nabla f_i(x)|)\leq\epsilon\}.$"
Quindi, se non sto dicendo una cavolata, la metrica che uso su $C^1$ è la seguente:
$|f|_{C^1}=\text{sup}(|f(x)|+|\nabla f(x)|)$
giusto?
in un libro che sto studiando si parla di "$C^1$-intorno di una funzione $f\in C^1(\R^n,\R^m)$". Il libro dà molte cose per scontate, in primis la metrica usata sullo spazio delle funzioni C^1.
Io conosco la seguente definizione di $C^1$-intorno:
"sottoinsieme di $C^1(\R^n,\R^m)$ contenente, per qualche $\epsilon>0$, l'insieme
$\{g\in C^1(\R^n,\R^m)|\sum_{i=1}^n \text{sup}_{x\in\R^n}(|g_i(x)-f_i(x)|+|\nabla g_i(x)-\nabla f_i(x)|)\leq\epsilon\}.$"
Quindi, se non sto dicendo una cavolata, la metrica che uso su $C^1$ è la seguente:
$|f|_{C^1}=\text{sup}(|f(x)|+|\nabla f(x)|)$
giusto?
Risposte
Che io sappia, su uno spazio metrico si possono definire più distanze. Sicuro che il libro non dia spiegazioni su questo punto?
Mi sembra abbastanza strano.
Mi sembra abbastanza strano.
Che si possano definire più distanze senza alcun dubbio 
Il libro fa moltissimi riferimenti esterni e non avendo possibilità al momento di reperire tali libri mi ritrovo in difficoltà, probabilmente le definizioni sono contenute in questi riferimenti.. anzi, quasi sicuramente sarà così.
Nel caso da me citato ad ogni modo la metrica è quella che ho scritto io?
Il libro fa moltissimi riferimenti esterni e non avendo possibilità al momento di reperire tali libri mi ritrovo in difficoltà, probabilmente le definizioni sono contenute in questi riferimenti.. anzi, quasi sicuramente sarà così.
Nel caso da me citato ad ogni modo la metrica è quella che ho scritto io?
"james bond":
Che si possano definire più distanze senza alcun dubbio
"james bond":
Il libro fa moltissimi riferimenti esterni e non avendo possibilità al momento di reperire tali libri mi ritrovo in difficoltà, probabilmente le definizioni sono contenute in questi riferimenti.. anzi, quasi sicuramente sarà così.
Nel caso da me citato ad ogni modo la metrica è quella che ho scritto io?
Può essere, ma non saprei dirti con certezza. Hai controllato che sia una distanza? L'unica cosa ovvia mi pare sia il segno, ma il resto mi sa che è abbastanza delicato...
Intanto quella che hai scritto tu non è una distanza, semmai è una norma. Comunque, ci sei quasi: quando ci si riferisce a \(C^1(K)\) (per \(K \subset \mathbb{R}^n\) compatto) come ad uno spazio normato tipicamente si intende che la norma è
\[\lVert f \rVert=\sup_{x \in K}\lvert f(x) \rvert + \sup_{x \in K} \lvert \nabla f(x) \rvert.\]
\[\lVert f \rVert=\sup_{x \in K}\lvert f(x) \rvert + \sup_{x \in K} \lvert \nabla f(x) \rvert.\]
In genere su $C^1$ si usa la norma
[tex]\|f-g\|_{C^1} = \| f - g\|_{\infty} + \|\nabla f - \nabla g\|_{\infty}[/tex]
dove [tex]\|u-v\|_{\infty} = \sup_x \|u(x) - v(x)\|[/tex] è l'usuale norma del sup.
La metrica scritta da te mi sembra equivalente a questa.
[tex]\|f-g\|_{C^1} = \| f - g\|_{\infty} + \|\nabla f - \nabla g\|_{\infty}[/tex]
dove [tex]\|u-v\|_{\infty} = \sup_x \|u(x) - v(x)\|[/tex] è l'usuale norma del sup.
La metrica scritta da te mi sembra equivalente a questa.
@ dissonance: naturalmente. Comunque, una volta definita la norma segue anche la distanza, giusto? $d(f,g)= ||f-g||$ , dico bene?
Una domanda: da dove salta fuori quella norma? Quali sono le motivazioni? Scusate la curiosità
Una domanda: da dove salta fuori quella norma? Quali sono le motivazioni? Scusate la curiosità
"Paolo90":
Una domanda: da dove salta fuori quella norma? Quali sono le motivazioni? Scusate la curiosità
Se la domanda è riferita a me ti rispondo subito: sto studiando il grado topologico (o grado di Brower) per poi applicarlo a problemi di cavitazione, in particolare per studiare questo articolo:
http://www.ann.jussieu.fr/~henao/henao08.pdf
Ad ogni modo grazie a tutti, con le vostre risposte mi avete risolto molti dubbi. Sono cavolate magari, ma mi ero bloccato come un pollo
Salta fuori dal fatto che, con quella metrica, $C^1(K)$ è uno spazio metrico completo.
"Rigel":
Salta fuori dal fatto che, con quella metrica, $C^1(K)$ è uno spazio metrico completo.
Ah, capisco; be', è vero, sembra una naturale estensione della norma del sup che si mette su $C(K)$, $K$ compatto (e che dovrebbe renderlo uno spazio di Banach).
Grazie!
"Paolo90":
Ah, capisco; be', è vero, sembra una naturale estensione della norma del sup che si mette su $C(K)$, $K$ compatto (e che dovrebbe renderlo uno spazio di Banach)
...e con questa norma, le operazioni di derivazione di primo ordine diventano continue. Come sai, infatti, la derivazione non è una operazione continua rispetto alla convergenza uniforme (esempio: \(\frac{\sin(nx)}{n}\)).
Comunque, @Rigel: Ma sei sicuro del fatto che le due norme
\[\sup_K \left( \lvert f(x) \rvert + \lvert \nabla f(x)\rvert \right), \qquad \sup_K \lvert f(x)\rvert + \sup_K \lvert \nabla f(x)\rvert\]
siano equivalenti? Io, a naso, avrei detto che non può esistere una costante \(C\) tale che
\[\sup_K \lvert f(x)\rvert + \sup_K \lvert \nabla f(x)\rvert\le C\, \sup_K \left( \lvert f(x) \rvert + \lvert \nabla f(x)\rvert \right).\]
Ho provato un po' a cercare un controesempio per \(K=[0, 1]\) (ho provato con le successioni \(f_n(x)=e^{-nx^2}, g_n=\arctan(nx)\), tanto per la cronaca) ma non ho concluso nulla, per cui non saprei. Ripeto, così a naso mi pare non possa esistere una disuguaglianza del genere.
Infatti - penso - potrebbe capitare che il massimo per \(\lvert f_n(x)\rvert\) e il massimo per \(\lvert f'_n(x)\rvert\) siano assunti in punti molto lontani, di modo che, al crescere di \(n\), la somma dei sup cresca più rapidamente del sup della somma. Questa è l'intuizione.
"dissonance":
[quote="Paolo90"]Ah, capisco; be', è vero, sembra una naturale estensione della norma del sup che si mette su $C(K)$, $K$ compatto (e che dovrebbe renderlo uno spazio di Banach)
...e con questa norma, le operazioni di derivazione di primo ordine diventano continue. Come sai, infatti, la derivazione non è una operazione continua rispetto alla convergenza uniforme (esempio: \(\frac{\sin(nx)}{n}\)). [/quote]
In sostanza, mi stai dicendo che con quella norma in $C^{1}(K)$ posso effettuare il passaggio al limite sotto il segno di derivata? Uhh, è una cosa spinosa, non mi è mai piaciuta troppo: l'integrazione ok, la derivata invece era più incasinata.
Altrimenti non ho capito che cosa intedi con "operazione continua rispetto alla conv. uniforme".
Comunque, grazie per l'intervento... Mi piacciono un sacco queste cose
"dissonance":
@Rigel: Ma sei sicuro del fatto che le due norme
\[\sup_K \left( \lvert f(x) \rvert + \lvert \nabla f(x)\rvert \right), \qquad \sup_K \lvert f(x)\rvert + \sup_K \lvert \nabla f(x)\rvert\]
siano equivalenti? Io, a naso, avrei detto che non può esistere una costante \(C\) tale che
\[\sup_K \lvert f(x)\rvert + \sup_K \lvert \nabla f(x)\rvert\le C\, \sup_K \left( \lvert f(x) \rvert + \lvert \nabla f(x)\rvert \right).\]
"Sicuro" è una parola grossa. Ho risposto abbastanza di getto (con un "mi sembra") e ti dico su cosa è basata la mia risposta, anche se adesso non ho molto tempo (voglia?) di pensarci sopra:
1) definiamo \[\| f\|_1 =\sup_K \lvert f(x)\rvert + \sup_K \lvert \nabla f(x)\rvert,\qquad \|f\|_2 = \sup_K \left( \lvert f(x) \rvert + \lvert \nabla f(x)\rvert \right).\]
Chiaramente [tex]\|f\|_2\le \|f\|_1[/tex]; inoltre, mi sembra che con entrambe le norme $C^1(K)$ sia uno spazio di Banach.
2) Usiamo il seguente risultato:
"Brezis, Corollary 2.8":
Sia $E$ uno spazio vettoriale provvisto di due norme, [tex]\|\cdot\|_1[/tex] e [tex]\|\cdot\|_2[/tex]. Supponiamo che $E$ sia uno spazio di Banach per entrambe le norme, e che esista una costante $C>0$ tale che
\[\|f\|_2\le C\|f\|_1\] per ogni $f\in E$. Allora le due norme sono equivalenti.
Naturalmente, anche in questo caso, l'eventuale inghippo è contenuto nel "mi sembra"...
@Paolo: Si, guarda, è molto più semplice di quanto non sembri. Diciamo \(K=[0, 1]\), per non perderci in chiacchiere tecniche. Definiamo
\[(Df)(t)=f'(t), \qquad \forall f \in C^1\big([0, 1]\big) .\]
Si tratta di una applicazione lineare di \(C^1\big( [0, 1]\big)\) in \(C\big( [0, 1]\big)\). Se dotiamo entrambi gli spazi della norma del sup, essa non è continua: ad esempio la successione \(f_n(t)=\frac{\sin(nt)}{n}\) converge uniformemente a \(0\) ma \(Df_n\) non converge uniformemente. Se invece si considera \(C^1\big( [0, 1]\big)\) dotato della norma \(\lVert f \rVert_{C^1}=\lVert f \rVert_{\infty}+\lVert Df\rVert_{\infty}\), \(D\) risulta essere continuo [size=85](*)[/size]. Questo in realtà è un fatto banale: la cosa non ovvia è dimostrare che \(C^1\big([0, 1]\big)\) con questa norma è uno spazio di Banach, ovvero che la costruzione fatta ha prodotto qualcosa di utile e non è stata solo aria fritta. E' a questo punto che interviene il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata.
@Rigel: Ho capito a cosa ti riferisci e avevo anche intenzione di pensarci stasera, ma ho appena dato un'occhiata all'orologio e ho visto che devo correre a dormire (!). Se trovo un po' di tempo spero di pensarci domani, sarà un utile esercizio per me.
_____________________
(*) Si tratta di un fatto del tutto generale. Data una applicazione lineare (operatore, in gergo) \(A\colon D(A)\subset X \to Y\), dove \(X, Y\) sono spazi di Banach e \(D(A)\) è un sottospazio vettoriale di \(X\), definiamo grafico di \(A\) l'insieme
\[G(A)=\{(x, Ax)\mid x \in D(A)\}.\]
Si tratta di un sottospazio vettoriale di \(X \times Y\). Ora, come capita spesso con il prodotto cartesiano di due insiemi dotati di struttura, anche \(X \times Y\) ha in modo naturale struttura di spazio di Banach: basta introdurre su di esso la norma \(\lVert (x, y)\rVert=\lVert x \rVert + \lVert y \rVert\). Resta indotta su \(G(A)\) la restrizione di tale norma, il che giustifica la dicitura di norma del grafico per la
\[\lVert x \rVert_{G(A)}=\lVert x \rVert_X+\lVert Ax\rVert_Y\ \qquad x \in D(A).\]
Considerando \(D(A)\) con questa norma, l'operatore \(A\colon D(A) \to Y\) è continuo: questo è un fatto assolutamente banale, tanto è vero che sussiste per qualsiasi operatore lineare \(A\). Molto meno banale è la circostanza che \(D(A)\) munito della norma del grafico sia uno spazio di Banach: questo non si verifica sempre. L'operatore \(D\) definito più sopra nel testo soddisfa questa proprietà.
\[(Df)(t)=f'(t), \qquad \forall f \in C^1\big([0, 1]\big) .\]
Si tratta di una applicazione lineare di \(C^1\big( [0, 1]\big)\) in \(C\big( [0, 1]\big)\). Se dotiamo entrambi gli spazi della norma del sup, essa non è continua: ad esempio la successione \(f_n(t)=\frac{\sin(nt)}{n}\) converge uniformemente a \(0\) ma \(Df_n\) non converge uniformemente. Se invece si considera \(C^1\big( [0, 1]\big)\) dotato della norma \(\lVert f \rVert_{C^1}=\lVert f \rVert_{\infty}+\lVert Df\rVert_{\infty}\), \(D\) risulta essere continuo [size=85](*)[/size]. Questo in realtà è un fatto banale: la cosa non ovvia è dimostrare che \(C^1\big([0, 1]\big)\) con questa norma è uno spazio di Banach, ovvero che la costruzione fatta ha prodotto qualcosa di utile e non è stata solo aria fritta. E' a questo punto che interviene il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata.
@Rigel: Ho capito a cosa ti riferisci e avevo anche intenzione di pensarci stasera, ma ho appena dato un'occhiata all'orologio e ho visto che devo correre a dormire (!). Se trovo un po' di tempo spero di pensarci domani, sarà un utile esercizio per me.
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(*) Si tratta di un fatto del tutto generale. Data una applicazione lineare (operatore, in gergo) \(A\colon D(A)\subset X \to Y\), dove \(X, Y\) sono spazi di Banach e \(D(A)\) è un sottospazio vettoriale di \(X\), definiamo grafico di \(A\) l'insieme
\[G(A)=\{(x, Ax)\mid x \in D(A)\}.\]
Si tratta di un sottospazio vettoriale di \(X \times Y\). Ora, come capita spesso con il prodotto cartesiano di due insiemi dotati di struttura, anche \(X \times Y\) ha in modo naturale struttura di spazio di Banach: basta introdurre su di esso la norma \(\lVert (x, y)\rVert=\lVert x \rVert + \lVert y \rVert\). Resta indotta su \(G(A)\) la restrizione di tale norma, il che giustifica la dicitura di norma del grafico per la
\[\lVert x \rVert_{G(A)}=\lVert x \rVert_X+\lVert Ax\rVert_Y\ \qquad x \in D(A).\]
Considerando \(D(A)\) con questa norma, l'operatore \(A\colon D(A) \to Y\) è continuo: questo è un fatto assolutamente banale, tanto è vero che sussiste per qualsiasi operatore lineare \(A\). Molto meno banale è la circostanza che \(D(A)\) munito della norma del grafico sia uno spazio di Banach: questo non si verifica sempre. L'operatore \(D\) definito più sopra nel testo soddisfa questa proprietà.
@Rigel: Riguardo l'equivalenza delle due norme
\[\lVert f \rVert = \lVert f \rVert_{\infty} + \lVert f' \rVert_{\infty} \qquad \lVert f \rVert_1= \sup_{x \in K} \big( \lvert f(x) \rvert + \lvert f'(x)\rvert)\]
naturalmente avevi ragione. Vale infatti la disuguaglianza
\[\max\big( \lVert f \rVert_{\infty}, \lVert f'\rVert_{\infty}\big) \le \lVert f \rVert_1 \le \lVert f \rVert, \]
da cui, essendo \(a+b \le 2 \max (a, b)\) per \(a, b \ge 0\),
\[\frac{1}{2}\lVert f \rVert \le \lVert f \rVert_1 \le \lVert f \rVert.\]
\[\lVert f \rVert = \lVert f \rVert_{\infty} + \lVert f' \rVert_{\infty} \qquad \lVert f \rVert_1= \sup_{x \in K} \big( \lvert f(x) \rvert + \lvert f'(x)\rvert)\]
naturalmente avevi ragione. Vale infatti la disuguaglianza
\[\max\big( \lVert f \rVert_{\infty}, \lVert f'\rVert_{\infty}\big) \le \lVert f \rVert_1 \le \lVert f \rVert, \]
da cui, essendo \(a+b \le 2 \max (a, b)\) per \(a, b \ge 0\),
\[\frac{1}{2}\lVert f \rVert \le \lVert f \rVert_1 \le \lVert f \rVert.\]
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