Metrica limitata.
Se \(\displaystyle (X,\mathrm{d}) \) è uno spazio metrico, allora un'altra metrica è definita da \(\displaystyle \mathrm{d}'(x,y)=\frac{\mathrm{d}(x,y)}{1+\mathrm{d}(x,y)} \) e \(\displaystyle (X,\mathrm{d}') \) è limitato.
Allora, chiaramente le prime proprietà della metrica \(\displaystyle d' \) discendono immediatamente da quelle di $d$; \(\displaystyle d' \) è certamente non negativa, nulla solo se \(\displaystyle x=y \) e simmetrica. Resta quindi soltanto la disuguaglianza triangolare: \[\displaystyle \mathrm{d}'(x,y)=\frac{\mathrm{d}(x,y)}{1+\mathrm{d}(x,y)}\underbrace{\le}_{*}\frac{\mathrm{d}(x,z)+\mathrm{d}(z,y)}{1+\mathrm{d}(x,z)+\mathrm{d}(z,y)}= \frac{\mathrm{d}(x,z)}{1+\mathrm{d}(x,z)+\mathrm{d}(z,y)}+\frac{\mathrm{d}(z,y)}{1+\mathrm{d}(x,z)+\mathrm{d}(z,y)}\le \frac{\mathrm{d}(x,z)}{1+\mathrm{d}(x,z)}+\frac{\mathrm{d}(z,y)}{1+\mathrm{d}(z,y)}=\mathrm{d}'(x,z)+\mathrm{d}'(z,y). \] \(\displaystyle * \): non sono molto sicuro di questa disuguaglianza, è corretta? Purtroppo è quella su cui si basa tutta la catena!
Comunque, per la seconda parte: suppongo che $X$ sia limitato rispetto alla metrica $d$. $X$ è limitato conseguentemente anche secondo la metrica \(\displaystyle d' \) poiché se \(\displaystyle \forall x,y\in X \), \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y)<\infty \) allora sicuramente \(\displaystyle \mathrm{d}'(x,y)<\infty \). Supponendo invece che $X$ sia illimitato, allora esiste almeno una coppia \(\displaystyle x,y \) tale che \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y)\to\infty \), ottenendo per \(\displaystyle \mathrm{d}' \) una forma di indeterminazione \(\displaystyle \infty/\infty \). Siccome tuttavia \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y)\sim1+\mathrm{d}(x,y) \), si ha ancora \(\displaystyle \mathrm{d}'<\infty. \)
Che dite, va bene?
Allora, chiaramente le prime proprietà della metrica \(\displaystyle d' \) discendono immediatamente da quelle di $d$; \(\displaystyle d' \) è certamente non negativa, nulla solo se \(\displaystyle x=y \) e simmetrica. Resta quindi soltanto la disuguaglianza triangolare: \[\displaystyle \mathrm{d}'(x,y)=\frac{\mathrm{d}(x,y)}{1+\mathrm{d}(x,y)}\underbrace{\le}_{*}\frac{\mathrm{d}(x,z)+\mathrm{d}(z,y)}{1+\mathrm{d}(x,z)+\mathrm{d}(z,y)}= \frac{\mathrm{d}(x,z)}{1+\mathrm{d}(x,z)+\mathrm{d}(z,y)}+\frac{\mathrm{d}(z,y)}{1+\mathrm{d}(x,z)+\mathrm{d}(z,y)}\le \frac{\mathrm{d}(x,z)}{1+\mathrm{d}(x,z)}+\frac{\mathrm{d}(z,y)}{1+\mathrm{d}(z,y)}=\mathrm{d}'(x,z)+\mathrm{d}'(z,y). \] \(\displaystyle * \): non sono molto sicuro di questa disuguaglianza, è corretta? Purtroppo è quella su cui si basa tutta la catena!
Comunque, per la seconda parte: suppongo che $X$ sia limitato rispetto alla metrica $d$. $X$ è limitato conseguentemente anche secondo la metrica \(\displaystyle d' \) poiché se \(\displaystyle \forall x,y\in X \), \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y)<\infty \) allora sicuramente \(\displaystyle \mathrm{d}'(x,y)<\infty \). Supponendo invece che $X$ sia illimitato, allora esiste almeno una coppia \(\displaystyle x,y \) tale che \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y)\to\infty \), ottenendo per \(\displaystyle \mathrm{d}' \) una forma di indeterminazione \(\displaystyle \infty/\infty \). Siccome tuttavia \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y)\sim1+\mathrm{d}(x,y) \), si ha ancora \(\displaystyle \mathrm{d}'<\infty. \)
Che dite, va bene?
Risposte
Per la seconda basta notare che $d(x,y) (d(x,y))/(d(x,y)+1)<1$
Effettivamente così è molto più semplice... ma il discorso con le stime asintotico è corretto in questo contesto?
Sia
\[ f \colon [0, +\infty) \to [0, +\infty) \\ \quad \, \, x \mapsto \frac{x}{1+x} \]
allora per la parte asteriscata ti è sufficiente osservare che \( f \) è crescente e per la seconda parte che è limitata.
Da qui puoi vedere che il discorso si può facilmente generalizzare a una funzione da \( [0, \infty) \) a valori non negativi, crescente, sublineare, limitata e che vale \(0 \) solo ed esclusivamente in \(0\). Per esempio \( f(x)= \arctan(x) \) è una possibile scelta.
\[ f \colon [0, +\infty) \to [0, +\infty) \\ \quad \, \, x \mapsto \frac{x}{1+x} \]
allora per la parte asteriscata ti è sufficiente osservare che \( f \) è crescente e per la seconda parte che è limitata.
Da qui puoi vedere che il discorso si può facilmente generalizzare a una funzione da \( [0, \infty) \) a valori non negativi, crescente, sublineare, limitata e che vale \(0 \) solo ed esclusivamente in \(0\). Per esempio \( f(x)= \arctan(x) \) è una possibile scelta.
Ciao, non capisco come mai per la prima parte sia sufficiente dimostrare che questa funzione sia crescente!
\[ d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y) \Rightarrow f(d(x,y)) =\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} \le \frac{d(x,z) + d(z,y)}{1+d(x,z) + d(z,y)} = f(d(x,z) + d(z,y))\]
Da cui ricavi il tuo punto asteriscato. Ho modificato il mio post precedente perché mancava un pezzo.
Da cui ricavi il tuo punto asteriscato. Ho modificato il mio post precedente perché mancava un pezzo.
Ah, adesso è chiaro 
Bene! 
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