Metrica in spazi numerabilmente normati

[dknew]

Ciao a tutti,
riguardo gli spazi numerabilmente normati non riesco a comprendere come la seguente serie costituisca una buona metrica che definisce la stessa topologia indotta dalle norme:

\[d(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n}\frac{\lVert x-y \rVert _{n}}{1+\lVert x-y \rVert _{n}}\]

Grazie a chiunque mi aiuti

[ciampax]

Hai provato per prima cosa a verificare che sia tutto in ordine (nel senso che siano soddisfatte le condizioni di metrica)? Già fare questo potrebbe darti un'idea di come riportare il discorso alla topologia indotta.

[dknew]

Ci provo con calma e posto i risultati.

[dissonance]

Quella è una maniera "numerabile" di sommare tra loro varie metriche. Se ne avessi solo due basterebbe sommarle e buonanotte. Invece ne hai infinite e quindi devi inventarti qualcosa per assicurare che la somma sia convergente. A questo scopo si usa il trucco di metterci un decadimento $2^{-n}$ e di passare a quelle metriche equivalenti, che se ci fai caso sono limitate. Un'altra possibilità è fare così:
\[
d(x, y)=\sum_{n=1}^\infty 10^{-n}\min( d_n(x, y), 1).\]