Metodologia svolgimento limiti funzioni a più variabili
Salve a tutti, apro questo thread generico perchè ho veramente molta confusione in testa per quello che riguarda le "strategie" utilizzabili per risolvere limiti di funzioni a più variabili.
Nello specifico credo di aver capito (e non ho particolari difficoltà) la sostituzione con coordinate polari, anche utilizzare restrizioni che portano a limiti differenti non mi crea particolari problemi ma in questo panorama non riesco a identificare un senso quando si ragiona secondo definizione.
Voglio dire, prendiamo ad esempio questo limite abbastanza semplice:
$lim_(x,y->0,0)(xy^2)/(x^4+y^2)$
Come riesco a capire quale è la logica più semplice per risolverlo? Che indizi posso trovare guardando la funzione? In questo caso conviene ragionare secondo definizione, verificare $|f(x,y)-l|
Aggiungo che ho provato a risolverla anche attraverso coordinate polari, secondo questo procedimento:
$lim_(x,y->0,0)(xy^2)/(x^4+y^2)=lim_(delta->0)(deltacos(theta)*delta^2sin^2(theta))/(delta^4cos^4(theta)+delta^2sin^2(theta))=lim_(delta->0)((delta^3cos(theta)sin^2(theta))/(delta^2(delta^2cos^4(theta)+sin^2(theta))))=lim_(delta->0)(deltacos(theta)sin^2(theta))/(delta^2cos^4(theta)+sin^2(theta))$
Posso dire che $delta^2cos^4(theta)<=delta^2$ e che $sin^2(theta)$ è al più uno, idem per il numeratore, $deltacos(theta)sin^2(theta)<=delta$ da cui posso dedurre che tutto è $<=delta/(delta^2+1)$ che ovviamente per $delta->0$ mi manda tutto a infinito, errato!
Ragionando per restrizioni il discorso è analogo:
$y=0$, ragiono sulla restrizione asse delle x, il limite mi diventa $lim_(x,y->0,0)(1/x^4)=+infty$, idem per reastrizione asse delle y... Errato!
Vi prego, qualcuno mi aiuta a chiarirmi le idee? Il mio libro di testo riporta la definizione, mi indica come in generale spesso bisogna cercare una maggiorazione $|f(x,y)-l|
Ok.
Ma quando mai?!?!
Ho ripreso quest'anno dopo più di un anno di lavoro a studiare e i numeri mi sono davvero ostici proprio perchè mi rendo conto di quante cose mi sono dimenticato.
Comunque hai perfettamente ragione, devo stare decisamente più attento e lasciar da parte gli automatismi.
Nello specifico credo di aver capito (e non ho particolari difficoltà) la sostituzione con coordinate polari, anche utilizzare restrizioni che portano a limiti differenti non mi crea particolari problemi ma in questo panorama non riesco a identificare un senso quando si ragiona secondo definizione.
Voglio dire, prendiamo ad esempio questo limite abbastanza semplice:
$lim_(x,y->0,0)(xy^2)/(x^4+y^2)$
Come riesco a capire quale è la logica più semplice per risolverlo? Che indizi posso trovare guardando la funzione? In questo caso conviene ragionare secondo definizione, verificare $|f(x,y)-l|
Aggiungo che ho provato a risolverla anche attraverso coordinate polari, secondo questo procedimento:
$lim_(x,y->0,0)(xy^2)/(x^4+y^2)=lim_(delta->0)(deltacos(theta)*delta^2sin^2(theta))/(delta^4cos^4(theta)+delta^2sin^2(theta))=lim_(delta->0)((delta^3cos(theta)sin^2(theta))/(delta^2(delta^2cos^4(theta)+sin^2(theta))))=lim_(delta->0)(deltacos(theta)sin^2(theta))/(delta^2cos^4(theta)+sin^2(theta))$
Posso dire che $delta^2cos^4(theta)<=delta^2$ e che $sin^2(theta)$ è al più uno, idem per il numeratore, $deltacos(theta)sin^2(theta)<=delta$ da cui posso dedurre che tutto è $<=delta/(delta^2+1)$ che ovviamente per $delta->0$ mi manda tutto a infinito, errato!
Ragionando per restrizioni il discorso è analogo:
$y=0$, ragiono sulla restrizione asse delle x, il limite mi diventa $lim_(x,y->0,0)(1/x^4)=+infty$, idem per reastrizione asse delle y... Errato!
Vi prego, qualcuno mi aiuta a chiarirmi le idee? Il mio libro di testo riporta la definizione, mi indica come in generale spesso bisogna cercare una maggiorazione $|f(x,y)-l|
Risposte
Comincia con l'osservare che $\frac{y^2}{x^4+y^2}\leq 1$ per ogni $(x,y)\ne (0,0)$.
A questo punto il limite è praticamente fatto.
Edit: scusa, non avevo letto tutto il post.
Con i limiti di due variabili è un po' come per la ricerca di primitive, devi vedere un po' di metodi (facendo esercizi), in modo da acquisire un po' di colpo d'occhio.
A questo punto il limite è praticamente fatto.
Edit: scusa, non avevo letto tutto il post.
Con i limiti di due variabili è un po' come per la ricerca di primitive, devi vedere un po' di metodi (facendo esercizi), in modo da acquisire un po' di colpo d'occhio.
Ma infatto lo svolgimento che ho fatto io, e che è corretto è il seguente:
$|xy^2/(x^4+y^2)|=|x|*(y^2/(x^4+y^2))$ da cui appunto si vede subito che $y^2/(x^4+y^2)<1$ quindi il tutto è $<|x|0$ il limite tende a zero.
Però facendo un discorso più generale che va oltre questo esercizio, quando utilizzare la definizione? Quando utilizzare le coordinate polari? Quando utilizzare le restrizioni?
$|xy^2/(x^4+y^2)|=|x|*(y^2/(x^4+y^2))$ da cui appunto si vede subito che $y^2/(x^4+y^2)<1$ quindi il tutto è $<|x|
Però facendo un discorso più generale che va oltre questo esercizio, quando utilizzare la definizione? Quando utilizzare le coordinate polari? Quando utilizzare le restrizioni?
"mrpoint":
prendiamo ad esempio questo limite abbastanza semplice:
$lim_(x,y->0,0)(xy^2)/(x^4+y^2)$
[...] ho provato a risolverla anche attraverso coordinate polari, secondo questo procedimento:
$lim_(x,y->0,0)(xy^2)/(x^4+y^2)=lim_(delta->0)(deltacos(theta)*delta^2sin^2(theta))/(delta^4cos^4(theta)+delta^2sin^2(theta))=lim_(delta->0)((delta^3cos(theta)sin^2(theta))/(delta^2(delta^2cos^4(theta)+sin^2(theta))))=lim_(delta->0)(deltacos(theta)sin^2(theta))/(delta^2cos^4(theta)+sin^2(theta))$
Posso dire che $delta^2cos^4(theta)<=delta^2$ e che $sin^2(theta)$ è al più uno, idem per il numeratore, $deltacos(theta)sin^2(theta)<=delta$
Ok.
"mrpoint":
[...] da cui posso dedurre che tutto è $<=delta/(delta^2+1)$ che ovviamente per $delta->0$ mi manda tutto a infinito
Ma quando mai?!?!
Pura fantasia dici?
Ricalcola un po' [tex]$\lim_{\delta \to 0} \frac{\delta}{\delta^2+1}$[/tex]...
Diciamo che ho un infinitesimo di ordine supriore al denominatore e uno di ordine inferiore al numeratore.
Vediamo se ho capito dove stà l'errore, sono andato a ricontrollarmi le gerarchie per infiniti e infinitesimi e se fosse $lim_(delta->0)delta/delta^2$ allora andrebbe a +inf.
Però effettivamente c'è quell'1 che non è solo per ornamento e calcolatrice alla mano si vede che è come dire $~=delta/1$, corretto?
Vediamo se ho capito dove stà l'errore, sono andato a ricontrollarmi le gerarchie per infiniti e infinitesimi e se fosse $lim_(delta->0)delta/delta^2$ allora andrebbe a +inf.
Però effettivamente c'è quell'1 che non è solo per ornamento e calcolatrice alla mano si vede che è come dire $~=delta/1$, corretto?
Ma quali gerarchie?!?!
Quel limite non è in forma indeterminata, giacché il denominatore non tende a zero.
Ti consiglio vivamente di ripassare un po' di esercizi di Analisi I; o, quanto meno, di mettere un po' più di attenzione su ciò che studi.
P.S.: "Calcolatrice alla mano"??? Ma sei all'università o ancora alle scuole superiori?
Quel limite non è in forma indeterminata, giacché il denominatore non tende a zero.
Ti consiglio vivamente di ripassare un po' di esercizi di Analisi I; o, quanto meno, di mettere un po' più di attenzione su ciò che studi.
P.S.: "Calcolatrice alla mano"??? Ma sei all'università o ancora alle scuole superiori?
Ti ho chiesto una mano, non un caziatone.
Comunque hai ragione, stò fondendo, non c'è bisogno di farsi nessuna pippa mentale, ho un numeratore che tende a zero, un denominatore che tende a un numero finito e stop.
Prendila come uno sprone.
Voglio dire, lungi da me la volontà di "cazziare"; però frasi come "calcolatrice alla mano" dette da uno studente universitario al terzo anno (mi sono preso la briga di controllare il tuo spazio web) mi fanno cadere le braccia...
Se vuoi un parere spassionato, devi fare davvero più attenzione a ciò che leggi/scrivi e devi ragionare quando svolgi esercizi.
Si vede che l'errore di calcolo, ripetuto e non isolato, è strutturale: insomma, hai visto un [tex]$\delta$[/tex] "sopra", hai visto un [tex]$\delta^2$[/tex] "sotto" e TAC! meccanicamente t'è scattato il confronto tra infinitesimi, che in questo caso non è applicabile.
Vabbé, la prima volta passi, nella foga capita; però nemmeno la seconda e la terza volta (cioè dopo i miei due richiami) ti sei preoccupato di guardare se il numeratore ed il denominatore erano effettivamente infinitesimi.
Hai guardato solo gli esponenti e basta, come se il problema fosse tutto lì.
Fai più attenzione e prova, soprattutto, a fare esercizi senza sfruttare gli automatismi (giusti o sbagliati che siano) che hai acquisito in questi anni.
Ripeto, non prenderla come una "reprimenda"; è un consiglio da chi ha un po' più di esperienza.
Voglio dire, lungi da me la volontà di "cazziare"; però frasi come "calcolatrice alla mano" dette da uno studente universitario al terzo anno (mi sono preso la briga di controllare il tuo spazio web) mi fanno cadere le braccia...
Se vuoi un parere spassionato, devi fare davvero più attenzione a ciò che leggi/scrivi e devi ragionare quando svolgi esercizi.
Si vede che l'errore di calcolo, ripetuto e non isolato, è strutturale: insomma, hai visto un [tex]$\delta$[/tex] "sopra", hai visto un [tex]$\delta^2$[/tex] "sotto" e TAC! meccanicamente t'è scattato il confronto tra infinitesimi, che in questo caso non è applicabile.
Vabbé, la prima volta passi, nella foga capita; però nemmeno la seconda e la terza volta (cioè dopo i miei due richiami) ti sei preoccupato di guardare se il numeratore ed il denominatore erano effettivamente infinitesimi.
Hai guardato solo gli esponenti e basta, come se il problema fosse tutto lì.
Fai più attenzione e prova, soprattutto, a fare esercizi senza sfruttare gli automatismi (giusti o sbagliati che siano) che hai acquisito in questi anni.
Ripeto, non prenderla come una "reprimenda"; è un consiglio da chi ha un po' più di esperienza.
Rimane però la domanda; utilizzando le restrizioni mi sembra che non venga zero, sono io che sbaglio sicuramente qualcosa, qualche indizio?
Posta un po' di passaggi... E controllali bene. 
"gugo82":
Prendila come uno sprone.
Voglio dire, lungi da me la volontà di "cazziare"; però frasi come "calcolatrice alla mano" dette da uno studente universitario al terzo anno (mi sono preso la briga di controllare il tuo spazio web) mi fanno cadere le braccia...
Se vuoi un parere spassionato, devi fare davvero più attenzione a ciò che leggi/scrivi e devi ragionare quando svolgi esercizi.
Si vede che l'errore di calcolo, ripetuto e non isolato, è strutturale: insomma, hai visto un "sopra", hai visto un "sotto" e TAC! meccanicamente t'è scattato il confronto tra infinitesimi, che in questo caso non è applicabile.
Vabbé, la prima volta passi, nella foga capita; però nemmeno la seconda e la terza volta (cioè dopo i miei due richiami) ti sei preoccupato di guardare se il numeratore ed il denominatore erano effettivamente infinitesimi.
Hai guardato solo gli esponenti e basta, come se il problema fosse tutto lì.
Fai più attenzione e prova, soprattutto, a fare esercizi senza sfruttare gli automatismi (giusti o sbagliati che siano) che hai acquisito in questi anni.
Ripeto, non prenderla come una "reprimenda"; è un consiglio da chi ha un po' più di esperienza.
Ho ripreso quest'anno dopo più di un anno di lavoro a studiare e i numeri mi sono davvero ostici proprio perchè mi rendo conto di quante cose mi sono dimenticato.
Comunque hai perfettamente ragione, devo stare decisamente più attento e lasciar da parte gli automatismi.
Dicono che ci sia una sola regola in matematica: diffidare dalle regole.
Non va presa alla lettera, la matematica ha le sue regole e i suoi automatismi da seguire rigorosamente, però non sono quelli che uno si aspetta.
Non va presa alla lettera, la matematica ha le sue regole e i suoi automatismi da seguire rigorosamente, però non sono quelli che uno si aspetta.
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