Metodo variazione della costante

[JappoDiVi]

Ciao a tutti!
Mi servirebbe un'informazione...dato che tra poco ho l'esame di analisi 1.
Ho studiato la dimostrazione su come risolvere un'equazione differenziale di primo grado COMPLETA; però mi sono imbattuto nel "metodo della variazione della costante"
In poche parole non mi è chiaro questo passaggio tra queste due forme:

$z(x)=C e^(-inta(x)dx$

dove z(x) è soluzione dell'equazione differenziale OMOGENEA;

$bar(y)(x)=C(x) e^(-inta(x)dx) $

dove $bar(y)(x)$ è la soluzione particolare dell'equazione COMPLETA.

Ovvero...prima si ha una costante fissa, al variare di x...ora invece ho un valore che cambia al variare di x... (cioè C è in funzione di x )
Perchè questo metodo funziona?
Grazie a tutti!

[dissonance]

Funziona perché... funziona. Se fai i conti vedrai che alla fine riuscirai ad ottenere una equazione per $C(x)$, risolvendo la quale avrai ottenuto una soluzione particolare dell'equazione non omogenea. In questo caso non penso ci sia da fare molta filosofia, questo è semplicemente un metodo risolutivo.

Quello che c'è dietro è in realtà la linearità dell'equazione, senza la quale il metodo perde completamente di senso. Ma la cosa non si capisce bene a questo livello, ti conviene aspettare di sapere un po' di matematica in più. Qui c'è qualche riflessione in proposito applicata all'equazione del calore e poi all'equazione delle onde.

[JappoDiVi]

Grazie mille! Chiedevo perchè la dimostrazione l'avevo capita tutta...tranne quel passaggio. Vorrà dire che aspetterò ancora un pochino!!