Metodo variazione costanti eq. diff. 2° ord.
ciao a tutti, chiedo aiuto per un'eq. diff. 2° ordine da risolvere (credo) col metodo della variazione delle costanti.
E: $ y''+(2/x)y'=2x-x^2 $ con $ y'(1)=2, y(1)=1 $. io ho sostituito $ u=y' $ e ho risolto come un' eq. lineare 1° ordine con la formula
$u=(e^(-inta(x)dx))[(int e^(inta(x) dx)*b(x)dx)+c] $ con risultato $ u=(1/2)x^2-(1/5)x^3 +c/x^2 $. per trovare la y ho integrato nuovamente ottenendo $ y=(1/6)x^3-(1/20)x^4-c/x+d $. è corretto fino a qui? ora, dovrei applicare il metodo della variazione delle costanti? dagli appunti non capisco come fare, su wikipedia (a cui si rimandava in un altra discussione di questo sito) dice che dovrei partire da due soluzioni dell'omogenea associata. evidentemente ho sbagliato prima in quanto a me risulta di avere una sola equazione (per di più ottenuta non con l'omogenea associata)... non capisco dove ho sbagliato...
E: $ y''+(2/x)y'=2x-x^2 $ con $ y'(1)=2, y(1)=1 $. io ho sostituito $ u=y' $ e ho risolto come un' eq. lineare 1° ordine con la formula
$u=(e^(-inta(x)dx))[(int e^(inta(x) dx)*b(x)dx)+c] $ con risultato $ u=(1/2)x^2-(1/5)x^3 +c/x^2 $. per trovare la y ho integrato nuovamente ottenendo $ y=(1/6)x^3-(1/20)x^4-c/x+d $. è corretto fino a qui? ora, dovrei applicare il metodo della variazione delle costanti? dagli appunti non capisco come fare, su wikipedia (a cui si rimandava in un altra discussione di questo sito) dice che dovrei partire da due soluzioni dell'omogenea associata. evidentemente ho sbagliato prima in quanto a me risulta di avere una sola equazione (per di più ottenuta non con l'omogenea associata)... non capisco dove ho sbagliato...
Risposte
No, ora ti basta determinare i valori di $c,\ d$ usando le condizioni iniziali.
grazie! (anche se allora dovrò chiarirmi le idee sul metodo della variazione delle costanti perchè non mi è ancora chiaro l'utilizzo che ne dovrei fare...in quali casi applicarlo...)
Se l'equazione lineare la risolvi come hai fatto (cioè con la "formuletta") in pratica il metodo delle variazione delle costanti lo hai già applicato implicitamente. Tale metodo si usa quando, risolvendo una equazione lineare a coefficienti costanti del tipo $Ly=f$ (dove $L$ è l'operatore che fornisce il primo membro con le derivate di $y$) risolvi prima l'equazione omogenea $Ly=0$ trovando le $n$ soluzioni indipendenti $Y_1,\ldots,Y_n$ e poi cerchi la soluzione particolare $Y_p$ come combinazione lineare delle precedenti, e cioè
$$Y_p(x)=\sum_{k=1}^n A_k(x)\cdot Y_k(x)$$
dove le $A_k$ sono funzioni incognite, che sostituisci alle costanti necessarie per ottenere la soluzione omogenea, da far "variare" in modo da ottenere la soluzione particolare.
$$Y_p(x)=\sum_{k=1}^n A_k(x)\cdot Y_k(x)$$
dove le $A_k$ sono funzioni incognite, che sostituisci alle costanti necessarie per ottenere la soluzione omogenea, da far "variare" in modo da ottenere la soluzione particolare.
grazie per la pazienza! proverò con degli esercizi, così mi aiuterò a fissarlo in testa!!
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