Metodo sostituzione integrale
Allora. Ho questo integrale da risolvere.
$int 1/(1+2sqrt(x)) dx$.
1) Adotto il metodo di sostituzione. Pongo $2sqrt(x)=t$. Quindi $x=t^2/2$, la cui derivata è $t/2$.
Quindi l'integrale diventa:
$int 1/(1+t) (t/2) dt$
2) Mi porto $1/2$ che è una costante fuori dal segno di integrale.
$1/2int t/(1+t) dt$
3) Quindi all'interno dell'integrale a denominatore metto a fattor comune la t.
$1/2int t/((t)(1+(1/t)))dt $
4) In questo modo lo semplifico con il denominatore e mi viene
$1/2int 1/(1+(1/t))dt $
5) Quindi :
$1/2int (1+t) dt $
6) Dato che si tratta di una somma, la somma all'interno dell'integrale equivale a:
$1/2int (1) dt + 1/2int (t) dt$
7)Risolvendolo con gli integrali elementari viene:
$(1/2)t+ 1/2 t^2/2+c=t/2+(t^2)/4+c$
8)Andando a sostituire $t$ con $2sqrt(x)$ ho:
$2sqrt(x)/2+(2sqrt(x))^2/4+c$
9)Cioè:
$sqrt(x)+x+c
10)Penso che abbia fatto tutto giusto, invece guardando il libro mi accorgo che la soluzione è :
$sqrt(x)-(1/2)ln(2sqrt(x) +1)+c$
Dove sbaglio ? Grazie per un'eventuale risposta
$int 1/(1+2sqrt(x)) dx$.
1) Adotto il metodo di sostituzione. Pongo $2sqrt(x)=t$. Quindi $x=t^2/2$, la cui derivata è $t/2$.
Quindi l'integrale diventa:
$int 1/(1+t) (t/2) dt$
2) Mi porto $1/2$ che è una costante fuori dal segno di integrale.
$1/2int t/(1+t) dt$
3) Quindi all'interno dell'integrale a denominatore metto a fattor comune la t.
$1/2int t/((t)(1+(1/t)))dt $
4) In questo modo lo semplifico con il denominatore e mi viene
$1/2int 1/(1+(1/t))dt $
5) Quindi :
$1/2int (1+t) dt $
6) Dato che si tratta di una somma, la somma all'interno dell'integrale equivale a:
$1/2int (1) dt + 1/2int (t) dt$
7)Risolvendolo con gli integrali elementari viene:
$(1/2)t+ 1/2 t^2/2+c=t/2+(t^2)/4+c$
8)Andando a sostituire $t$ con $2sqrt(x)$ ho:
$2sqrt(x)/2+(2sqrt(x))^2/4+c$
9)Cioè:
$sqrt(x)+x+c
10)Penso che abbia fatto tutto giusto, invece guardando il libro mi accorgo che la soluzione è :
$sqrt(x)-(1/2)ln(2sqrt(x) +1)+c$
Dove sbaglio ? Grazie per un'eventuale risposta
Risposte
Dopo la sostituzione devi aggiungere e sottrarre 1 così da poter semplificare con il denominatore..Se non ti è chiaro ti posto l'integrale come verrebbe...
Si postami l'integrale. Grazie
Il tuo integrale di partenza è $int 1/(1+2sqrtx) dx$ e hai deciso di adoperare saggiamente il metodo di sostituzione ponendo $2sqrtx=t rArr x=t^2/4 rArr dx= t/2 dt$.
Sostituiamo allora nel'integrale di partenza
$int 1/(1+t) * t/2 dt= 1/2 int t/(1+t)dt$
Ora aggiungiamo 1 e sottraiamo 1 cosa da ottenere
$1/2[ int (t+1)/(t+1)dt - int 1/(t+1) dt] = 1/2 [int dt - int 1/(t+1) dt] $
Capito?
Sostituiamo allora nel'integrale di partenza
$int 1/(1+t) * t/2 dt= 1/2 int t/(1+t)dt$
Ora aggiungiamo 1 e sottraiamo 1 cosa da ottenere
$1/2[ int (t+1)/(t+1)dt - int 1/(t+1) dt] = 1/2 [int dt - int 1/(t+1) dt] $
Capito?
E viene
t - (1/2)ln(t+1) +c. E andando a sostituire viene il risultato del libro.
Sì. Ho capito. Una domanda un pò stupida. Se adoperavo una diversa sostituzione, ad esempio $t=sqrt(x)$ Mi riconducevo sempre a quel risultato finale ?
t - (1/2)ln(t+1) +c. E andando a sostituire viene il risultato del libro.
Sì. Ho capito. Una domanda un pò stupida. Se adoperavo una diversa sostituzione, ad esempio $t=sqrt(x)$ Mi riconducevo sempre a quel risultato finale ?
"pitrineddu90":
Mi riconducevo sempre a quel risultato finale ?
Si... Avresti dovuto adoperare lo stesso metodo ma cambiando la sostituzione non sarebbe cambiato nulla...Per toglierti ogni dubbio prova a risolvere usando la sostituzione che hai detto
OK. =) grazie mille. Gentilissimo e molto disponibile =)
Ehm... Sono una lei 
Comunque tranquillo, è stato un piacere poterti essere d'aiuto 
Alla prossima!
Comunque tranquillo, è stato un piacere poterti essere d'aiuto Alla prossima!
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