Metodo risolutivo alternativo di un'equazione complessa

[Aelle1994]

Salve, ho svolto la seguente equazione nel campo dei numeri complessi (z)^3 = |z|^2; ragionando con il numero in forma trigonometrica e imponendo che il modulo di Z^3 fosse uguale a quello di |z|^2 e che l'argomento di z^3 fosse uguale a 0+2kπ (essendo il modulo di z^2>0). Mettendo a sistema sono giunto a quattro soluzioni 2 reali rispettivamente 0 e 1; e 2 soluzioni complesse -1/2 (-+) i sqrt(3)/2. Mi chiedo sarrebbe stato possibile (ci ho provato ma con scarsi risultati) arrivare alla soluzione attraverso un metodo alternativo. Ho provato con la posizione x+iy e sono giunto soltanto alla soluzione reale 0.

Grazie per l'aiuto
Saluti

[pilloeffe]

Ciao Aelle1994,

Va bene che sei ai primi messaggi, ma perché non provi a scrivere le formule come prescritto dalle regole del forum?

"Aelle1994":ho svolto la seguente equazione nel campo dei numeri complessi (z)^3 = |z|^2

L'equazione che hai scritto (togliendo quell'inutile parentesi tonda) si scrive semplicemente così:

$ z^3 = |z|^2 $

$ z^3 = |z|^2 $

"Aelle1994":ragionando con il numero in forma trigonometrica [...]

Qui la forma più comoda è quella esponenziale, infatti con $z = |z| e^{i\theta} = \rho e^{i\theta} $ si ha:

$\rho^3 e^{3i\theta} = \rho^2 $

$\rho^2 (\rho e^{3i\theta} - 1) = 0 $

Tolta la soluzione $\rho = 0 $ che ovviamente porge la soluzione $z = 0 $, le altre 3 soluzioni sono date dall'equazione seguente:

$\rho e^{3i\theta} = 1 $

Da quest'ultima si ricava $\rho = 1 $ e $ 3 \theta = 0 + 2k\pi \implies \theta = (2\pi)/3 k$, $k = 0, 1, 2 $.
In definitiva oltre a $z = 0 $ le altre 3 soluzioni dell'equazione proposta sono le seguenti:

$z_k = e^{i (2\pi)/3 k} = cos((2\pi)/3 k) + i sin((2\pi)/3 k) $, $ k = 0, 1, 2 $

cioè, esplicitamente:

$z_0 = e^{i 0} = cos 0 + i sin 0 = 1 $

$z_1 = e^{i (2\pi)/3} = cos((2\pi)/3) + i sin((2\pi)/3) = - 1/2 + i sqrt3/2 $

$z_2 = e^{i (4\pi)/3} = cos((4\pi)/3) + i sin((4\pi)/3) = - 1/2 - i sqrt3/2 $

$z_0 = e^{i 0} = cos 0 + i sin 0 = 1 $

$z_1 = e^{i (2\pi)/3} = cos((2\pi)/3) + i sin((2\pi)/3) = - 1/2 + i sqrt3/2 $

$z_2 = e^{i (4\pi)/3} = cos((4\pi)/3) + i sin((4\pi)/3) = - 1/2 - i sqrt3/2 $

Comunque ragionando un po' si risolve anche come hai pensato, cioè con $z = x + iy $
Dopo qualche passaggio dovresti ottenere l'equazione seguente:

$x^3 + i(3x^2 y - y^3) - 3xy^2 = x^2 + y^2 $

Ora, siccome il secondo membro è reale, naturalmente deve essere nulla la parte immaginaria, cioè deve essere $ 3x^2 y - y^3 = 0 \iff y(3x^2 - y^2) = 0 $
Per il principio di annullamento di un prodotto si ha o $y = 0 $, che sostituita nell'equazione porge $ x^3 = x^2 \iff x^2(x - 1) = 0 $, da cui $x = 0$ e $x = 1 $ che forniscono le due soluzioni $z = 0 $ e $z_0 = 1$, oppure $ (3x^2 - y^2) = 0 \implies y^2 = 3x^2 $, che sostituita nell'equazione porge:

$ x^3 - 9 x^3 = x^2 + 3x^2 $

$- 8x^3 = 4x^2 $

$ 2x^3 + x^2 = 0 $

$ x^2(2x + 1) = 0 $

Da quest'ultima equazione, sempre per il principio di annullamento di un prodotto, si ha o $x = 0 $, che porge $y = 0 $ e quindi la soluzione $z = 0 $ già ottenuta, oppure $x = - 1/2 \implies y^2 = 3/4 \implies y_{1,2} = \pm sqrt3/2 $ da cui si ottengono le due soluzioni $z_1 $ e $z_2 $ già scritte precedentemente.

[Aelle1994]

Ciao pilloeffe mi scuso per la mia mancanza nello scrivere con i codici, ho visto leggendo il regolamento del gruppo che bisogna usare i codici e dal prossimo messaggio cercherò di utilizzarli. Ti ringrazio per la risposta e ti auguro una buona giornata.