Metodo più rapido per questo limite

[Sk_Anonymous]

$lim_(x->pi) (cosx+1)/(cos3x+1)$
Posto $t=x-pi$
$lim_(t->0) (cos(t+pi)+1)/(cos(3t+pi)+1)=lim_(t->0) ((-cos(t)+1)/(-cos(3t)+1)*t^2/t^2)=lim_(t->0) ((-cos(t)+1)/t^2*t^2/(-cos(3t)+1))
=1/2lim_(t->0) t^2/(-cos(3t)+1)=1/2lim_(t->0) ((-cos(3t)+1)/t^2*9/9)^-1=1/2*(9/2)^-1=1/2*2/9=1/9$
C'è un metodo più rapido?

[Zero87]

"sleax":C'è un metodo più rapido?

Non mi viene in mente altro che applicare l'Hopital (2 volte di seguito perché la prima resta di nuovo la forma indeterminata).

[Sk_Anonymous]

Grazie.

[Obidream]

Potresti provare così, ma come numero di passaggi credo sia uguale, anche se forse meno calcoloso:

$lim_(x->pi) (cos(x)+1)/(cos(3x)+1)$

Considero solo il numeratore:

$cos(\pi+(x-\pi))+1$ da cui: $-cos(x-\pi)+1$

Adesso per $x->\pi$ l'argomento del coseno $->0$ quindi posso usare Mclaurin:

$-1+(x-\pi)^2/2+1+o((x-\pi)^2)=(x-\pi)^2/2+o((x-\pi)^2)$

Al denominatore fai la stessa cosa:

$cos(3x)+1$

Pongo $t=3x$, quindi ricavo che $t->3\pi$

$cos(3\pi+(t-3\pi))+1$ e quindi $-cos(t-3\pi)+1$

Posso usare ancora Mclaurin:

$-1+(t-3\pi)^2/2+1+o((t-3\pi)^2/2)=(t-3\pi)^2/2+o((t-3\pi)^2/2)$ e riportando alla variabile originale:

$(3x-3\pi)^2/2$ e quindi $9/2(x-\pi)^2+o((x-\pi)^2)$

Il limite è quindi:

$lim_(x->\pi) ((x-\pi)^2/2+o((x-\pi)^2))/(9/2(x-\pi)^2+o((x-\pi)^2))=((x-\pi)^2(1/2+o(1)))/((x-\pi)^2(9/2+o(1)))=1/9$