Metodo integrale - metodo pratico
Salve ragazzi, ho un piccolo problema. Allora, ho un serbatoio d'acqua alto 2R diritto da una parte, a forma di semicerchio dall'altra (l'acqua arriva alla sommità del semicerchio; per capirsi il semicerchio è a scavare nell'acqua cioè non contiene acqua ma aria). Voglio trovare la spinta che agisce nella parete (quella a semicerchio appunto.)
Per farvela in matematichese immaginate un semicerchio con raggio R a cui applico ortogonalmente in ogni $dl$ della superficie una $df = gamma z$ con z a partire dall'alto (quota = 2R; z=0) al basso (quota = 0; z=2R)
Allora, metodo pratico:
$F_x=-R^2 gamma 2$ (ho assunto la forza negativa come da sinistra verso destra, dopo spiegherò il motivo)
$F_y=pi R^2 gamma /2$
$=> F = sqrt(F_x^2+F_y^2)=R^2 gamma sqrt(4+pi^2/4)$
se voglio calcolare la stessa cosa ma con gli integrali (ed è qua il poblema, per questo scrivo qui):
assumo un sistema di riferimento al centro del cerchio (che mi dà il semicerchio) e considero un angolo $Theta$ antiorario. (x verso sinistra y verso l'alto)
$dF_x=R dTheta * gamma (R cos(Theta)-R) sin(Theta) => F_x = int_0^pi dF_x = -R^2 gamma 2$
$dF_y=R dTheta * gamma (R cos(Theta)-R) cos(Theta) => F_y = int_0^pi dF_y = R^2/2 gamma pi$
e fin qui tutto coincide.
Ora ho provato a calcolare:
$dF=sqrt(dF_x^2+dF_y^2) => F = int_0^pi dF = R^2 pi gamma$ che è diverso dalla F che avevo calcolato prima.... come è possibile? dove se ne stà l'errore??!!!
Per farvela in matematichese immaginate un semicerchio con raggio R a cui applico ortogonalmente in ogni $dl$ della superficie una $df = gamma z$ con z a partire dall'alto (quota = 2R; z=0) al basso (quota = 0; z=2R)
Allora, metodo pratico:
$F_x=-R^2 gamma 2$ (ho assunto la forza negativa come da sinistra verso destra, dopo spiegherò il motivo)
$F_y=pi R^2 gamma /2$
$=> F = sqrt(F_x^2+F_y^2)=R^2 gamma sqrt(4+pi^2/4)$
se voglio calcolare la stessa cosa ma con gli integrali (ed è qua il poblema, per questo scrivo qui):
assumo un sistema di riferimento al centro del cerchio (che mi dà il semicerchio) e considero un angolo $Theta$ antiorario. (x verso sinistra y verso l'alto)
$dF_x=R dTheta * gamma (R cos(Theta)-R) sin(Theta) => F_x = int_0^pi dF_x = -R^2 gamma 2$
$dF_y=R dTheta * gamma (R cos(Theta)-R) cos(Theta) => F_y = int_0^pi dF_y = R^2/2 gamma pi$
e fin qui tutto coincide.
Ora ho provato a calcolare:
$dF=sqrt(dF_x^2+dF_y^2) => F = int_0^pi dF = R^2 pi gamma$ che è diverso dalla F che avevo calcolato prima.... come è possibile? dove se ne stà l'errore??!!!
Risposte
Guarda che i differenziali di una radice non "entrano dentro"! Giusto per farti un esempio, se
$f(t)=\sqrt{t}$ allora $df=\frac{dt}{2\sqrt{t}}$.
Ecco dove sta l'errore!
$f(t)=\sqrt{t}$ allora $df=\frac{dt}{2\sqrt{t}}$.
Ecco dove sta l'errore!
...mmm..ho capito che vuoi dire ma non riesco ad adattare questa cosa al mio problema...
allora facendo in altro modo (quasi per definizione di F):
$dF=p dl => F = int p dl = int p R dTheta = int_0^pi gamma R^2 (cos(Theta)-1) dTheta = -2 pi R^2 gamma$
..stavolta non ho usato $dF= sqrt(dF_x^2+dF_y^2)$ eppure è errato ancora perchè alla fine torno sempre allo stesso integrale...
allora facendo in altro modo (quasi per definizione di F):
$dF=p dl => F = int p dl = int p R dTheta = int_0^pi gamma R^2 (cos(Theta)-1) dTheta = -2 pi R^2 gamma$
..stavolta non ho usato $dF= sqrt(dF_x^2+dF_y^2)$ eppure è errato ancora perchè alla fine torno sempre allo stesso integrale...
...una qualche spiegazione?! abbozzo di metodo risolutivo?
...allora, intanto ho trovato la spiegazione: praticamente come è definita F questa non è esatta.
[asvg]axes();
plot("5");
arc( [0,5] , [0,-5] , 5 );[/asvg]
a sinistra si trova l'acqua che con legge idrostatica preme in direzione sempre ortogonale alla semicirconferenza con un valore $F=gamma z$ con z che va da $(0,R)$ a $(0,-oo)$
Per trovare la forza totale che agisce nella semicirconferenza come devo esprimere F? e quindi che devo integrare?
[asvg]axes();
plot("5");
arc( [0,5] , [0,-5] , 5 );[/asvg]
a sinistra si trova l'acqua che con legge idrostatica preme in direzione sempre ortogonale alla semicirconferenza con un valore $F=gamma z$ con z che va da $(0,R)$ a $(0,-oo)$
Per trovare la forza totale che agisce nella semicirconferenza come devo esprimere F? e quindi che devo integrare?
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