Metodo di variazione delle costanti
$ z(s)=k_0e^{-\intc(y+bs,s)ds} $Considero l'equazione differenziale lineare non omogenea
$\dotz(s)=-c(y+bs,s)z(s)+l(y+bs,s)$ con condizione iniziale $z(0)=g(y)$
dove $c$ ed $l$ sono funzioni $RR^n xx RR -> RR$ sufficientemente regolari, $b\in RR^n$ è costante ed $y\inRR^n$ è un parametro.
Un'idea per risolverla potrebbe essere utilizzare il metodo di variazione delle costanti.
Innanzitutto risolvo l'omogenea associata $\dotz(s)=-c(y+bs,s)z(s)$ (ad esempio con il metodo di separazione delle variabili) e trovo la soluzione $z(s)=k_0e^{-\intc(y+bs,s)ds}=k_0e^{-\intc(y+br,r)dr}$.
Già qui mi sorge un dubbio, in quanto la soluzione trovata per l'omogenea è costante, cioè non dipende da $s$, ho sbagliato qualcosa?
$\dotz(s)=-c(y+bs,s)z(s)+l(y+bs,s)$ con condizione iniziale $z(0)=g(y)$
dove $c$ ed $l$ sono funzioni $RR^n xx RR -> RR$ sufficientemente regolari, $b\in RR^n$ è costante ed $y\inRR^n$ è un parametro.
Un'idea per risolverla potrebbe essere utilizzare il metodo di variazione delle costanti.
Innanzitutto risolvo l'omogenea associata $\dotz(s)=-c(y+bs,s)z(s)$ (ad esempio con il metodo di separazione delle variabili) e trovo la soluzione $z(s)=k_0e^{-\intc(y+bs,s)ds}=k_0e^{-\intc(y+br,r)dr}$.
Già qui mi sorge un dubbio, in quanto la soluzione trovata per l'omogenea è costante, cioè non dipende da $s$, ho sbagliato qualcosa?
Risposte
Sbagli ad usare l’integrale indefinito.
Usa la funzione integrale.
Usa la funzione integrale.
Ah già, dunque dovrei ottenere qualcosa come
$z(s)=k_0e^{-\int_0^sc(y+br,r)dr}$
giusto?
Ora che ho trovato la soluzione dell'omogenea associata dovrei considerare $k_0$ come una funzione di $s$ e porre $\tildez(s)=k_0(s)e^{-\int_0^sc(y+br,r)dr}$.
A questo punto come posso applicare il metodo di variazione delle costanti?
$z(s)=k_0e^{-\int_0^sc(y+br,r)dr}$
giusto?
Ora che ho trovato la soluzione dell'omogenea associata dovrei considerare $k_0$ come una funzione di $s$ e porre $\tildez(s)=k_0(s)e^{-\int_0^sc(y+br,r)dr}$.
A questo punto come posso applicare il metodo di variazione delle costanti?
Se cerchi la soluzione con il metodo del fattore di integrazione, vedi "immediatamente" che $z_O(s)$ è la soluzione omogenea (l'ho chiamata in modo diverso, visto che cerchiamo la soluzione completa z(s)).
E quindi $k_0=z(0)=g(y)$
La soluzione particolare dovrebbe essere $int_0^s l(y+bt,t)e^(-int_t^v c(y+bt,t)dv)dt$
P.S. Sentiamo cosa dice Gugo...
E quindi $k_0=z(0)=g(y)$
La soluzione particolare dovrebbe essere $int_0^s l(y+bt,t)e^(-int_t^v c(y+bt,t)dv)dt$
P.S. Sentiamo cosa dice Gugo...
In realtà si tratta di semplice applicazione della formuletta che fornisce l’integrale di un P.d.C. del primo ordine, solo che sembra più complicata per la notazione usata.
Ricordo che se si ha un P.d.C. del tipo:
\[
\begin{cases}
z^\prime (s) = -C(s)\ z(s) + L(s) \\
z(0) = G
\end{cases}
\]
l’unica soluzione è data da:
\[
\tag{S} z(s) = e^{-\int_0^s C(\sigma ) \text{d} \sigma}\ \left( G + \int_0^s L(\sigma)\ e^{\int_0^\sigma C(\varsigma ) \text{d} \varsigma}\ \text{d} \sigma \right) \; .
\]
Per ritrovare la soluzione del problema in esame basta sostituire:
\[
\begin{split}
C(s) &= c(y + b s,s) \\
L(s) &= l(y + b s, s)\\
G &= g(y)
\end{split}
\]
nella (S).
Inoltre, consiglio: quando vedi dipendenze funzionali un po’ esotiche, cerca di sopprimerle ed usa per fare i conti delle notazioni più pulite.
Ricordo che se si ha un P.d.C. del tipo:
\[
\begin{cases}
z^\prime (s) = -C(s)\ z(s) + L(s) \\
z(0) = G
\end{cases}
\]
l’unica soluzione è data da:
\[
\tag{S} z(s) = e^{-\int_0^s C(\sigma ) \text{d} \sigma}\ \left( G + \int_0^s L(\sigma)\ e^{\int_0^\sigma C(\varsigma ) \text{d} \varsigma}\ \text{d} \sigma \right) \; .
\]
Per ritrovare la soluzione del problema in esame basta sostituire:
\[
\begin{split}
C(s) &= c(y + b s,s) \\
L(s) &= l(y + b s, s)\\
G &= g(y)
\end{split}
\]
nella (S).
Inoltre, consiglio: quando vedi dipendenze funzionali un po’ esotiche, cerca di sopprimerle ed usa per fare i conti delle notazioni più pulite.
"Bokonon":
La soluzione particolare dovrebbe essere $ int_0^s l(y+bt,t)e^(-int_t^v c(y+bt,t)dv)dt $
Si, manca solo il dato iniziale e l'estremo di integrazione dell'integrale più interno dovrebbe essere $s$, cioè
$z(s)=g(y)+int_0^s l(y+bt,t)e^(-int_t^s c(y+bt,t)dv)dt $
@gugo82: al di là di questo esempio in particolare, volevo cercare di capire come applicare il metodo di variazione delle costanti.
Una volta trovata la soluzione dell'omogenea associata $\tildez(s)=k_0e^{-\int_0^sc(y+br,r)dr}$ come si trova la soluzione della non omogenea applicando il metodo di variazione delle costanti?
In questo caso il metodo non ti serve, perché hai già una formula di rappresentazione della soluzione.
Ad ogni buon conto, se proprio insisti, devi cercarti una soluzione del tipo $z(s) = k(s) e^(-int_0^s c(y + b sigma, sigma) text(d) sigma)$ con $k(s)$ funzione sufficientemente regolare da farci i conti.
Ad ogni buon conto, se proprio insisti, devi cercarti una soluzione del tipo $z(s) = k(s) e^(-int_0^s c(y + b sigma, sigma) text(d) sigma)$ con $k(s)$ funzione sufficientemente regolare da farci i conti.
"thedarkhero":
Si, manca solo il dato iniziale e l'estremo di integrazione dell'integrale più interno dovrebbe essere $s$, cioè
$z(s)=g(y)+int_0^s l(y+bt,t)e^(-int_t^s c(y+bt,t)dv)dt $
Non è così!
Facciamo un po' di chiarezza. La notazione che hai usato è "confusionaria". La z(s) è la soluzione omogenea, quindi meglio chiamarla $z_o(s)$.
L'integrale indefinito (per quanto sia comune scriverlo in modo sbrigativo in quel modo) è "scorretto" nel senso che dopo non ci raccapezza più. Meglio scriverlo "correttamente" come fanno i matematici, usando una dummy (io ho usato t) e ponendo gli estremi di integrazione fra 0 e s. La funzione risultante è appunto in s.
Detto questo, la soluzione totale è z(s)=y(0)*(soluzione omogenea)+(soluzione particolare)
Quindi è $z(s)=g(y)*z_o(s)$+la soluzione particolare che ho scritto
Non ci sono altri g(y) e devi usare una doppia "dummy" all'interno. E' l'integrale totale che alla fine sarà funzione di s (non quelli interni).
Spero di essere stato chiaro.
Per il resto, se prendi una equazione differenziale del tipo $y^{\prime}+a(t)y=b(t)$, la soluzione standard (quella che Gugo ha definito formuletta) si deriva facilmente col metodo del fattore di integrazione, la cui logica è sfruttare la regola di derivazione di un prodotto $(v*w)^{\prime}=v^{\prime}w+vw^{\prime}$ ipotizzando di poter ricondurre quell'equazione differenziale in questa forma attraverso un fattore "moltiplicativo". Se ne ripassi la logica, vedi immediatamente che quella che hai chiamato z(s) è la soluzione omogenea (ovvero il fattore "moltiplicativo" con l'esponente integrale cambiato di segno).
Obiettivamente è il modo più immediato per risolverla: usando il metodo delle variazioni viene fuori un bordello IMHO.
"Bokonon":
usando il metodo delle variazioni viene fuori un bordello IMHO.
No. I conti sono gli stessi, non cambiano di una virgola.
Provo ad applicare la formula esplicita:
$z(s)=e^{-\int_0^sc(y+br,r)dr}(z(0)+\int_0^sl(y+bt,t)e^{\int_0^tc(y+br,r)dr}dt)=$
$=e^{-\int_0^sc(y+br,r)dr}z(0)+e^{-\int_0^sc(y+br,r)dr}\int_0^sl(y+bt,t)e^{\int_0^tc(y+br,r)dr}dt=$
$=e^{-\int_0^sc(y+br,r)dr}z(0)+\int_0^sl(y+bt,t)e^{-\int_t^sc(y+br,r)dr}dt=$
$=e^{-\int_0^sc(y+br,r)dr}g(y)+\int_0^sl(y+bt,t)e^{-\int_t^sc(y+br,r)dr}dt$
Ora tutto dovrebbe tornare, me lo confermate?
$z(s)=e^{-\int_0^sc(y+br,r)dr}(z(0)+\int_0^sl(y+bt,t)e^{\int_0^tc(y+br,r)dr}dt)=$
$=e^{-\int_0^sc(y+br,r)dr}z(0)+e^{-\int_0^sc(y+br,r)dr}\int_0^sl(y+bt,t)e^{\int_0^tc(y+br,r)dr}dt=$
$=e^{-\int_0^sc(y+br,r)dr}z(0)+\int_0^sl(y+bt,t)e^{-\int_t^sc(y+br,r)dr}dt=$
$=e^{-\int_0^sc(y+br,r)dr}g(y)+\int_0^sl(y+bt,t)e^{-\int_t^sc(y+br,r)dr}dt$
Ora tutto dovrebbe tornare, me lo confermate?
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