Metodo di somiglianza per equazioni differenziali
Buongiorno!
Sto avendo problemi col metodo di somiglianza per equazioni lineari di secondo ordine ; per risolverle sapete devo prima risolvere l'equazione caratteristica dell'omogenea associata e poi trovare una soluzione particolare dell'equazione di partenza da sommare alla soluzione dell'omogenea !
Per trovare una soluzione particolare devo applicare il metodo di somiglianza cioè risolvere un'equazione simile alla f(t) di destra , vi faccio un esempio :
questa è la mia equazione : $y''+9y=(t^2 - 1)e^{3t}$ in questo caso : $f(t)=(t^2 - 1)e^{3t} , $ in questo caso alpha = 3 (esponente dell'esponenziale) è soluzione dell'equazione caratteristica.
Il mio problema è : come faccio a sapere l'equazione che devo considerare per trovare la soluzione particolare ? In questo caso ho considerato $y* =t(At + B)e^{3t}$ basandomi su un esercizio visto ed è quasi giusta ma nel risultato manca un termine !!
Come faccio a sapere che equazione considerare ?? Ci sono regole particolari o convenzioni ??
Grazie mille
Sto avendo problemi col metodo di somiglianza per equazioni lineari di secondo ordine ; per risolverle sapete devo prima risolvere l'equazione caratteristica dell'omogenea associata e poi trovare una soluzione particolare dell'equazione di partenza da sommare alla soluzione dell'omogenea !
Per trovare una soluzione particolare devo applicare il metodo di somiglianza cioè risolvere un'equazione simile alla f(t) di destra , vi faccio un esempio :
questa è la mia equazione : $y''+9y=(t^2 - 1)e^{3t}$ in questo caso : $f(t)=(t^2 - 1)e^{3t} , $ in questo caso alpha = 3 (esponente dell'esponenziale) è soluzione dell'equazione caratteristica.
Il mio problema è : come faccio a sapere l'equazione che devo considerare per trovare la soluzione particolare ? In questo caso ho considerato $y* =t(At + B)e^{3t}$ basandomi su un esercizio visto ed è quasi giusta ma nel risultato manca un termine !!
Come faccio a sapere che equazione considerare ?? Ci sono regole particolari o convenzioni ??
Grazie mille
Risposte
Ciao 
se ho ben capito vorresti un criteri per capire in quale forma devi cercare la soluzione particolare, giusto?
In questo caso, penso tu sappia che puoi applicare il metodo di somiglianza in due situazioni particolari, ovvero quando il termine noto $f(t)$ si presenta nelle forme
\[P_n(t)e^{\alpha t}\]
oppure
\[e^{\alpha t}[A_a(t)\cos\beta t+B_b(t)\sin \beta t]\]
dove $P,A,B$ sono dei polinomi di grado $n,a,b$ rispettivamente, mentre $\alpha\in RR$.
Nel primo caso, la soluzione particolare che devi cercare è del tipo
\[\overline{y}=t^rQ_n(t)e^{\alpha t}\]
dove $r$ è la molteplicità algebrica di $\alpha$ nel polinomio caratteristico, mentre $Q$ è un generico polinomio di grado $n$, di cui devi determinare i coefficienti sostituendo $\overline{y}$ nella EDO (è il caso dell'esempio che hai fatto prima, fai un po i conti e ti ci troverai).
Nel secondo caso, la soluzione è da cercare nella forma
\[\overline{y}=t^re^{\alpha t}[C(t)\cos\beta t+B(t)\sin \beta t]\]
dove $r$ è la molteplicità algebrica di $\alpha + i \beta$ (!) nel polinomio caratteristico, mentre $C$ e $D$ sono due polinomi tali che
\[\deg C,D\leq \max\{\deg A,\deg B\}\]
ossia tali che il grado di ciascuno sia inferiore al grado massimo tra quello di $A$ e quello di $B$.
Spero di esserti stato d'aiuto. Ciao
se ho ben capito vorresti un criteri per capire in quale forma devi cercare la soluzione particolare, giusto?In questo caso, penso tu sappia che puoi applicare il metodo di somiglianza in due situazioni particolari, ovvero quando il termine noto $f(t)$ si presenta nelle forme
\[P_n(t)e^{\alpha t}\]
oppure
\[e^{\alpha t}[A_a(t)\cos\beta t+B_b(t)\sin \beta t]\]
dove $P,A,B$ sono dei polinomi di grado $n,a,b$ rispettivamente, mentre $\alpha\in RR$.
Nel primo caso, la soluzione particolare che devi cercare è del tipo
\[\overline{y}=t^rQ_n(t)e^{\alpha t}\]
dove $r$ è la molteplicità algebrica di $\alpha$ nel polinomio caratteristico, mentre $Q$ è un generico polinomio di grado $n$, di cui devi determinare i coefficienti sostituendo $\overline{y}$ nella EDO (è il caso dell'esempio che hai fatto prima, fai un po i conti e ti ci troverai
).Nel secondo caso, la soluzione è da cercare nella forma
\[\overline{y}=t^re^{\alpha t}[C(t)\cos\beta t+B(t)\sin \beta t]\]
dove $r$ è la molteplicità algebrica di $\alpha + i \beta$ (!) nel polinomio caratteristico, mentre $C$ e $D$ sono due polinomi tali che
\[\deg C,D\leq \max\{\deg A,\deg B\}\]
ossia tali che il grado di ciascuno sia inferiore al grado massimo tra quello di $A$ e quello di $B$.
Spero di esserti stato d'aiuto. Ciao
Grazie sei stato gentile !! Non sapevo anche il secondo caso perchè abbiamo appena iniziato le equazioni differenziali quindi ci sto ancora lavorando !
Ma allora nel mio caso se devo trovare una soluzione del tipo : $y*=t^r Q_n (t)e^at$ , essendo $r=1 , a=3$ io scriverei $y*=t^1(At+B)e^{3t}$ invece non è corretto come mai ??
Ma allora nel mio caso se devo trovare una soluzione del tipo : $y*=t^r Q_n (t)e^at$ , essendo $r=1 , a=3$ io scriverei $y*=t^1(At+B)e^{3t}$ invece non è corretto come mai ??
Perchè $r=1$? $\alpha=3$ non è soluzione del polinomio caratteristico (le soluzioni sono $\lambda=\pm 3i$) e poi il polinomio
che ho indicato con $Q$ è di secondo grado (dello stesso grado di $P$), per cui
\[\overline{y}=t^0(At^2+Bt+C)e^{3t}=(At^2+Bt+C)e^{3t}\]
Magari il tuo prof. ha utilizzato un metodo di somiglianza "addomesticato" questo invece è il più "generale" possibile...
magari a volte comporta qualche calcolo in piu, ma di certo non ti sbagli
PS: non è che hai copiato male la traccia? forse era $y''-9y=\cdots$?
che ho indicato con $Q$ è di secondo grado (dello stesso grado di $P$), per cui
\[\overline{y}=t^0(At^2+Bt+C)e^{3t}=(At^2+Bt+C)e^{3t}\]
Magari il tuo prof. ha utilizzato un metodo di somiglianza "addomesticato"
questo invece è il più "generale" possibile...magari a volte comporta qualche calcolo in piu, ma di certo non ti sbagli
PS: non è che hai copiato male la traccia? forse era $y''-9y=\cdots$?
Hai ragione che scemo che sono stato !!! No no la traccia è giusta ma essendo delta minore di zero non ho considerato che le soluzione erano complesse e quindi alpha non è soluzione del polinomio caratteristico !!! Ora ci sono !! Grazie di tutto =)
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