Metodo di somiglianza per EDO

[raissa95]

$\{(y'' -2y'+y=tsent),(y(0)=0),(y'(0)=1):}$

Voglio risolverla per somiglianza, allora: $z^2-2z+1=0$ e cioè $z=1$ soluzione doppia, per cui:
$V_o=C_1e^t+c_2te^t$
Ora devo trovare la soluzione particolare, per cui in questi casi dovrebbe funzionare così:
$P(t)sen(alpha t)$, ma $ialpha$ non è soluzione dell'equazione caratteristica allora avrò:
$v(t)= (At+B)sent+Ccost$

corretto?
poi

$v'(t)=Asent+(At+B)cost-Csent$
$v''(t)= 2Acost - (At+B)sent-Ccost$

Sostituendo:
$-2(At+B-A)cost-2(A+C)sent=tsent$
Siccome al primo membro, tsent si è semplificato, non so come eguagliare col secondo membro, insomma arrivata qui non so trovare A,B e C.
Come si fa?

Inoltre piccola domanda:
La regola generale che ho scritto prima dice che se ho $P(t)sen(alpha t)$, ma $i alpha$ non è soluzione dell'equazione caratteristica ecc... Io avevo $z=1$ quindi ovviamente non era soluzione.. Ma per essere soluzione avrei dovuto avere per forza $z=i$ o sarebbe andato bene anche $3+i$ ad esempio? Cioè la soluzione deve essere uguale solo a $ai$ o l'importante è che sia uguale alla parte immaginaria?

[Bremen000]

Ciao,

la soluzione dell'omogenea è corretta. Occupiamoci della soluzione particolare:

Come giustamente osservi $i\beta = i$ non è soluzione dell'equazione associata all'omogenea e dunque la soluzione particolare è data da $y_0= \cos(t)[At+B] +\sin(t)[Ct+D] $ con $A,B,C,D \in \mathbb{R} $.

Con un po' di conti si impone:

$ y_0'' -2y_0' + y_0 = [-2C]t\cos(t) + [2C-2A-2D]\cos(t) + [-2A+2B-2C]\sin(t) + [2A]t\sin(t) = t\sin(t) $

Da cui:

$A=1/2 , B=1/2, C=0, D=-1/2 $

E la soluzione generale è data da:

$ y(t) = c_1e^t+c_2te^t+1/2t\cos(t)+1/2\cos(t)-1/2\sin(t) $

Imponendo le condizioni $y(0)=0 , y'(0)=1$ si ha $c_1=-1/2 , c_2=3/2$ da cui la soluzione cercata è:

$ y(t) = 1/2(e^t(3t-1)+(t+1)\cos(t) -\sin(t)) $


Ciao!