Metodo di separazione delle variabili (equaz. differenziali)
Consideriamo l'equazione (*):$y'(x)=a(x)b(y)$, con $a\inC(I)$, $b\inC(J)$, $I$ e $J$ intervalli reali.
Possiamo tentare di risolverla separando le variabili (almeno, credo che ci procuriamo qualche soluzione):
se $b(y(x))!=0$ allora si dimostra che l'equazione è equivalente a (**):$B(y(x))=A(x)+c$ con $B'(y)=1/(b(y))$ e $A'(x)=a(x)$. Questo chiaramente per $x\inS$, dove $S\subI$ su cui la $b$ mantiene segno costante.
Nella dispensa "Equazioni differenziali a variabili separabili e orang-utang" su questo argomento, il prof. Fioravante Patrone aggiunge l'ipotesi che valga un teorema di esistenza e unicità (almeno locale). Questo infatti garantisce che due soluzioni distinte non possano "intersecarsi" (coincidere in un punto) senza dover coincidere in tutto il loro intervallo di definizione (teorema del prolungamento massimale). E perciò, nel momento in cui noi ci limitiamo a intervalli con $b(y(x))!=0$, le uniche soluzioni che perdiamo sono quelle costanti, una per ogni zero della $b$.
Quello che mi chiedo è: e se non vale un teorema di esistenza e unicità?
Io credo che il metodo funzioni ancora, nel senso che applicandolo otteniamo delle soluzioni, precisamente tutte quelle che non annullano la $b(y(x))$. Però non siamo sicuri a priori che le altre soluzioni fossero solo quelle costanti. E' corretto?
Possiamo tentare di risolverla separando le variabili (almeno, credo che ci procuriamo qualche soluzione):
se $b(y(x))!=0$ allora si dimostra che l'equazione è equivalente a (**):$B(y(x))=A(x)+c$ con $B'(y)=1/(b(y))$ e $A'(x)=a(x)$. Questo chiaramente per $x\inS$, dove $S\subI$ su cui la $b$ mantiene segno costante.
Nella dispensa "Equazioni differenziali a variabili separabili e orang-utang" su questo argomento, il prof. Fioravante Patrone aggiunge l'ipotesi che valga un teorema di esistenza e unicità (almeno locale). Questo infatti garantisce che due soluzioni distinte non possano "intersecarsi" (coincidere in un punto) senza dover coincidere in tutto il loro intervallo di definizione (teorema del prolungamento massimale). E perciò, nel momento in cui noi ci limitiamo a intervalli con $b(y(x))!=0$, le uniche soluzioni che perdiamo sono quelle costanti, una per ogni zero della $b$.
Quello che mi chiedo è: e se non vale un teorema di esistenza e unicità?
Io credo che il metodo funzioni ancora, nel senso che applicandolo otteniamo delle soluzioni, precisamente tutte quelle che non annullano la $b(y(x))$. Però non siamo sicuri a priori che le altre soluzioni fossero solo quelle costanti. E' corretto?
Risposte
Io mi sono messo per comodità nelle ipotesi "standard" di esistenza ed unicità.
Ma nel caso a variabili separabili queste hp possono essere "alleggerite".
Quanto al resto, appena ho un po' di calma ti risponderò.
Ma nel caso a variabili separabili queste hp possono essere "alleggerite".
Quanto al resto, appena ho un po' di calma ti risponderò.
Ho fatto una ricerca sull'argomento, e forse ho trovato.
Sappiamo che ogni equazione della forma $y'=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$, con $omega=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ forma differenziale lineare esatta, è equivalente all'equazione (in forma implicita) $F(x,y(x))=c$, dove $F$ è una primitiva di $omega$ e $c$ una costante. E' anche necessario che $P,Q$ siano continue e che $Q!=0$ almeno su tutto un aperto.
Questo segue dal teorema della funzione implicita.
Ogni equazione di tipo $y'=a(x)b(y)$, restringendo $y$ ad un intervallo $S$ t.c. $b(y)!=0$ si riconduce al caso precedente: $y'=-[a(x)//-1/{b(y)}]$ ed essendo $a,b$ continue una primitiva della forma $omega=a(x)dx-1/{b(y)}dy$ esiste, chiamiamola $F(x,y)=A(x)-B(y)$ (dove $-B'(y)=-1/{b(y)}$). Perciò la nostra equazione a variabili separabili equivale a $F(x,y(x))=c$ ovvero a $A(x)-c=B(y(x))$, il risultato che ci aspettavamo. Non abbiamo usato ipotesi di esistenza e unicità.
Conclusione: il metodo di separazione delle variabili trova tutte le soluzioni che non annullano il termine in $y$.
E' corretto questo ragionamento?
Se sì, che strumenti abbiamo a disposizione per trovare le soluzioni mancanti (quelle che annullano $b$) oltre alle costanti?
Sappiamo che ogni equazione della forma $y'=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$, con $omega=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ forma differenziale lineare esatta, è equivalente all'equazione (in forma implicita) $F(x,y(x))=c$, dove $F$ è una primitiva di $omega$ e $c$ una costante. E' anche necessario che $P,Q$ siano continue e che $Q!=0$ almeno su tutto un aperto.
Questo segue dal teorema della funzione implicita.
Ogni equazione di tipo $y'=a(x)b(y)$, restringendo $y$ ad un intervallo $S$ t.c. $b(y)!=0$ si riconduce al caso precedente: $y'=-[a(x)//-1/{b(y)}]$ ed essendo $a,b$ continue una primitiva della forma $omega=a(x)dx-1/{b(y)}dy$ esiste, chiamiamola $F(x,y)=A(x)-B(y)$ (dove $-B'(y)=-1/{b(y)}$). Perciò la nostra equazione a variabili separabili equivale a $F(x,y(x))=c$ ovvero a $A(x)-c=B(y(x))$, il risultato che ci aspettavamo. Non abbiamo usato ipotesi di esistenza e unicità.
Conclusione: il metodo di separazione delle variabili trova tutte le soluzioni che non annullano il termine in $y$.
E' corretto questo ragionamento?
Se sì, che strumenti abbiamo a disposizione per trovare le soluzioni mancanti (quelle che annullano $b$) oltre alle costanti?
Alla luce degli esempi di oggi, penso che la risposta all'ultima domanda sia: l'analisi qualitativa dell'equazione. Separando le variabili, a meno di non essere in ipotesi di unicità delle soluzioni, quello che otteniamo sono "spezzoni" di soluzioni. definite in intervalli ridotti perché sia verificato $b(y)!=0$. Queste poi vanno prolungate a soluzioni massimali, e mi pare di capire che per questo non ci sia un metodo "standard", valido sempre. E' vero?
Io la teoria la so così - se vuoi e mi dai un po' di tempo di mando la dimostrazione.
In quanto segue gli intervalli possono essere di qualunque razza (aperti, chiusi, semiaperti, limitati o illimitati)
EDIT : MI SPIACE AVER SCAMBIATO $A$ e $B$ rispetto al tuo post
Siano $A:J\to RR$, $B:I\to RR$ due funzioni continue definite su due intervalli $I,J$ di $RR$, siano $x_0\in I$ e $y_0$ in $J$
e consideriamo il problema:
$y'(x)=A(y(x))B(x)$
$y(x_0)=y_0$
Allora
1) se $A(y_0)=0$ la funzione $y(x)=y_0$ per ogni $x\in I$ è soluzione
2) se $A(y_0)\ne0$ allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ dentro $I$ ed esiste unica una $y:U\to RR$ con le proprietà
$y(x)\in J$ $\forall x\in U$, $y(x_0)=y_0$ e $y$ verifica l'equazione.
La $y$ del punto 2) si calcola mediante il procedimento solito (prendendo $x$ abbastanza vicino a $x_0$ in modo che tutto abbia senso)
e l'unicità segue proprio dalla formula che si trova in questo modo. Volendo essere formali
$y(x)=F^{-1}(G(x))$ dove $F(s):=\int_{y_0}^s\frac{1}{A(\sigma)}d\sigma$ (per $s$ vicino a $y_0$ $F$ ha senso ed è strettamente monotona)
e $G(x):=\int_{x_0}^xB(t) dt$ (per $x$ vicino a $x_0$).
Naturalmente nel caso 1) la soluzione non è unica.
Per l'intervallo massimale (di esistenza e unicità nel caso 2) si devono studiare il massimo intervallo $J'$ con
$y_0\in J'subset J$ un cui $F$ è definita (fino a che non si sbatte con uno zero di $A$ - in questo intervallo $F$ è invertibile in quanto strettamente monotona) e il massimo intervallo $I'$ con $x_0\subset I'\subset I$ tale che $G(I')\subset F(J')$.
E' tutto piuttosto complicato da dire ma non sono mai riuscito a fare di meglio. E' abbastanza chiaro se $\bar x:="sup"I'$ si può avere
1) $\bar x="sup" I$ oppure
$\bar x<"sup" I$ e in questo caso
2) $|y(x)|\to+\infty$ per $x\to\bar x$ oppure
esiste $\bar y:=\lim_{x\to\bar x^-}A(y(x))$ e si ha
3) $\bar y\in Y$ e $A(\bar y)=0$ oppure
4) $\bar y\in\partial J$
In quanto segue gli intervalli possono essere di qualunque razza (aperti, chiusi, semiaperti, limitati o illimitati)
EDIT : MI SPIACE AVER SCAMBIATO $A$ e $B$ rispetto al tuo post
Siano $A:J\to RR$, $B:I\to RR$ due funzioni continue definite su due intervalli $I,J$ di $RR$, siano $x_0\in I$ e $y_0$ in $J$
e consideriamo il problema:
$y'(x)=A(y(x))B(x)$
$y(x_0)=y_0$
Allora
1) se $A(y_0)=0$ la funzione $y(x)=y_0$ per ogni $x\in I$ è soluzione
2) se $A(y_0)\ne0$ allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ dentro $I$ ed esiste unica una $y:U\to RR$ con le proprietà
$y(x)\in J$ $\forall x\in U$, $y(x_0)=y_0$ e $y$ verifica l'equazione.
La $y$ del punto 2) si calcola mediante il procedimento solito (prendendo $x$ abbastanza vicino a $x_0$ in modo che tutto abbia senso)
e l'unicità segue proprio dalla formula che si trova in questo modo. Volendo essere formali
$y(x)=F^{-1}(G(x))$ dove $F(s):=\int_{y_0}^s\frac{1}{A(\sigma)}d\sigma$ (per $s$ vicino a $y_0$ $F$ ha senso ed è strettamente monotona)
e $G(x):=\int_{x_0}^xB(t) dt$ (per $x$ vicino a $x_0$).
Naturalmente nel caso 1) la soluzione non è unica.
Per l'intervallo massimale (di esistenza e unicità nel caso 2) si devono studiare il massimo intervallo $J'$ con
$y_0\in J'subset J$ un cui $F$ è definita (fino a che non si sbatte con uno zero di $A$ - in questo intervallo $F$ è invertibile in quanto strettamente monotona) e il massimo intervallo $I'$ con $x_0\subset I'\subset I$ tale che $G(I')\subset F(J')$.
E' tutto piuttosto complicato da dire ma non sono mai riuscito a fare di meglio. E' abbastanza chiaro se $\bar x:="sup"I'$ si può avere
1) $\bar x="sup" I$ oppure
$\bar x<"sup" I$ e in questo caso
2) $|y(x)|\to+\infty$ per $x\to\bar x$ oppure
esiste $\bar y:=\lim_{x\to\bar x^-}A(y(x))$ e si ha
3) $\bar y\in Y$ e $A(\bar y)=0$ oppure
4) $\bar y\in\partial J$
Mi pare che sia tutto meno difficile di quanto sembri. Ti ringrazio per avermi fatto notare l'unicità della soluzione nel caso 2). In effetti se una soluzione esiste deve per forza verificare la formula. E, grosso modo, inché la formula ha senso, conosciamo la soluzione, che per quanto detto prima è anche unica. Quando poi "andiamo a sbattere" su uno zero di A, dobbiamo controllare se la soluzione si può prolungare o meno (e questo mi pare che tu lo confermi), usando i tuoi punti 1,2,3,4. Questi poi hanno un aspetto terribile 
a quest'ora di notte, ma sono convinto che sia tutto abbastanza intuitivo. Vedremo domani!
Ti ringrazio ancora (ormai sarà la 100ma volta
)! Buonanotte!
a quest'ora di notte, ma sono convinto che sia tutto abbastanza intuitivo. Vedremo domani! Ti ringrazio ancora (ormai sarà la 100ma volta
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