Metodo di Lagrange con più vincoli?..alcuni dubbi..
Ciao a tutti, oggi mi è capitato questo esercizio, ma ho alcuni dubbi sulla sua risoluzione, aiutatemi a capire per favore. Grazie in anticipo..
Sia $D$ la regione limitata del piano determinata dalla parabola $y=x^2$ e dalla retta $ x-y+2=0 $.
Sia $ g(x,y)=2/3x+y $
Trovare i max/min di $g(x,y)$ su $D$
Ho provato a ragionare così
(il grafico l'ho fatto a mano, ma non so come riportarlo su qui)
viste le 2 equazioni mi sono collegato al caso di metodo di Lagrange con più vincoli..
$ L(x,y,\lambda,\alpha)=2/3x+y-\lambda(y-x^2)-\alpha(x-y+2) $
$ { ( \partial_x L=0 ),( \partial_y L=0 ),( y-x^2=0 ),( x-y+x^2=0 ):}\to { ( 2/3+2\lambdax-\alpha=0 ),( 1-\lambda+\alpha=0 ),( y-x^2=0 ),( x-y+2=0 ):} $
ho provato a fare alcuni calcoli, ma non vado da nessuna parte..
Forse non è giusta? O mi sto complicando la vita?
Poi ho provato a studiare i 2 vincoli separatamente..
cioè ho fatto per prima cosa $ L(x,y,\lambda)=2/3x+y-\lambda(y-x^2) $
ottenendo $ { ( 2/3+2\lambdax=0 ),( 1-\lambda=0 ),( y-x^2=0 ):} $
e facendo un po' di conti mi sono ritrovato $x=-1/3$ .. quindi $ P_1=((-1/3),(1/9)) $
poi quando passo alla retta.. non ottengo nulla.. cioè, faccio come al solito la Lagrangiana
$ L(x,y,\alpha)=2/3x+y-\alpha(x-y+2) $
quindi $ { ( 2/3-\alpha=0 ),( 1+\alpha=0 ),( x-y+2=0 ):} $
ma non ottengo nulla..
Ma scusate, come mai non ottengo nulla? Dove sto sbagliando?..
sulla soluzione, c'è scritto solo risultato, e c'è scritto che un punto di min è il punto trovato da me prima..
ma poi dice che un altro punto è di max..
e dice che un p.to di max è $ P_2=(2,4)^(T) $ , cioè $ max_D g(P_2)=16/3 $
ma sinceramente non capisco, come abbia fatto a trovare il punto $P_2$
Sia $D$ la regione limitata del piano determinata dalla parabola $y=x^2$ e dalla retta $ x-y+2=0 $.
Sia $ g(x,y)=2/3x+y $
Trovare i max/min di $g(x,y)$ su $D$
Ho provato a ragionare così
(il grafico l'ho fatto a mano, ma non so come riportarlo su qui)
viste le 2 equazioni mi sono collegato al caso di metodo di Lagrange con più vincoli..
$ L(x,y,\lambda,\alpha)=2/3x+y-\lambda(y-x^2)-\alpha(x-y+2) $
$ { ( \partial_x L=0 ),( \partial_y L=0 ),( y-x^2=0 ),( x-y+x^2=0 ):}\to { ( 2/3+2\lambdax-\alpha=0 ),( 1-\lambda+\alpha=0 ),( y-x^2=0 ),( x-y+2=0 ):} $
ho provato a fare alcuni calcoli, ma non vado da nessuna parte..
Forse non è giusta? O mi sto complicando la vita?
Poi ho provato a studiare i 2 vincoli separatamente..
cioè ho fatto per prima cosa $ L(x,y,\lambda)=2/3x+y-\lambda(y-x^2) $
ottenendo $ { ( 2/3+2\lambdax=0 ),( 1-\lambda=0 ),( y-x^2=0 ):} $
e facendo un po' di conti mi sono ritrovato $x=-1/3$ .. quindi $ P_1=((-1/3),(1/9)) $
poi quando passo alla retta.. non ottengo nulla.. cioè, faccio come al solito la Lagrangiana
$ L(x,y,\alpha)=2/3x+y-\alpha(x-y+2) $
quindi $ { ( 2/3-\alpha=0 ),( 1+\alpha=0 ),( x-y+2=0 ):} $
ma non ottengo nulla..
Ma scusate, come mai non ottengo nulla? Dove sto sbagliando?..
sulla soluzione, c'è scritto solo risultato, e c'è scritto che un punto di min è il punto trovato da me prima..
ma poi dice che un altro punto è di max..
e dice che un p.to di max è $ P_2=(2,4)^(T) $ , cioè $ max_D g(P_2)=16/3 $
ma sinceramente non capisco, come abbia fatto a trovare il punto $P_2$
Risposte
Provo a ricondurmi a una funzione di una sola variabile .
Risolvo il sistema :
$y=x^2$
$y=x+2$ e trovo che i punti di intersezione sono $A=(-1,1);B=(2,4)$.
*Valuto la funzione $g(x,y)$ sulla retta AB $(y=x+2)$ e trovo che $g(x,x)= 2x/3+x+2=5x/2+2$ ed è una funzione sempre crescente che assumerà il valore max quando $x$ è max cioè per $x=2$ e quindi nel punto $B=(2,4)$.Pertanto $g(B) = 16/3 $ .
Analogamente $g(x,x)$ avrà il valore minimo per $x= -1 $ e quindi $g(A)=-5/3+2=1/3$.
*Valuto ora la funzione $g(x,y)$ sull’arco di parabola AOB $(y=x^2)$ e trovo che $g(x,x)= 2x/3+x^2 $ .
Ne calcolo la derivata $g’(x)= 2/3+2x$ che si annulla per $x=-1/3 (y=1/9 )$ e chiamo $C=(-1/3,1/9)$ .
Il punto C è candidato come punto di minimo ( per $x< -1/3 $ funzione decrescente, per $x> -1/3 $ funzione crescente ) .
Si ha $g( C )= -2/9+1/9=-1/9 $ .
In conclusione : $g(A)= 1/3; g(B)= 16/3 ; g(C)= -1/9 $ .
Pertanto , sui bordi del dominio B è punto di max mentre C è punto di min
Risolvo il sistema :
$y=x^2$
$y=x+2$ e trovo che i punti di intersezione sono $A=(-1,1);B=(2,4)$.
*Valuto la funzione $g(x,y)$ sulla retta AB $(y=x+2)$ e trovo che $g(x,x)= 2x/3+x+2=5x/2+2$ ed è una funzione sempre crescente che assumerà il valore max quando $x$ è max cioè per $x=2$ e quindi nel punto $B=(2,4)$.Pertanto $g(B) = 16/3 $ .
Analogamente $g(x,x)$ avrà il valore minimo per $x= -1 $ e quindi $g(A)=-5/3+2=1/3$.
*Valuto ora la funzione $g(x,y)$ sull’arco di parabola AOB $(y=x^2)$ e trovo che $g(x,x)= 2x/3+x^2 $ .
Ne calcolo la derivata $g’(x)= 2/3+2x$ che si annulla per $x=-1/3 (y=1/9 )$ e chiamo $C=(-1/3,1/9)$ .
Il punto C è candidato come punto di minimo ( per $x< -1/3 $ funzione decrescente, per $x> -1/3 $ funzione crescente ) .
Si ha $g( C )= -2/9+1/9=-1/9 $ .
In conclusione : $g(A)= 1/3; g(B)= 16/3 ; g(C)= -1/9 $ .
Pertanto , sui bordi del dominio B è punto di max mentre C è punto di min
ah ecco il punto $16/3$ dov'era..
ho capito quello che hai fatto..
ma una domanda.. come mai il metodo di Lagrange in questo caso non funziona?..
ho capito quello che hai fatto..
ma una domanda.. come mai il metodo di Lagrange in questo caso non funziona?..
Premessa
Poiché l'esercizio richiede la determinazione di Max e min nel dominio D della funzione $g(x,y)=2x/3+y $ , va prima di tutto determinato se vi sono punti INTERNI al dominio D che siano di Max e min.
Calcolo quindi il gradiente della funzione obbiettivo e vedo se si annulla :
$g_x =2/3 $
$ g_y= 1 $.
Il gradiente non si annulla mai , quindi non esistono punti di Max o min all'interno del dominio D.
Passo ora a cercare punti di Max o min sulla frontiera del dominio , ricerca già fatta nei post precedenti e che ha dato come risultato che $B=(2,4)$ è punto di Max essendo $g(B)=16/3 $ e $C=(-1/3,1/9) $ è punto di min essendo $g(C)=-1/9.$
In conclusione se viene richiesto di determinare i punti di Max e min di una funzione in un certo dominio va prima verificato se all'interno del dominio ci sono punti di Max e min ; poi si passa all'esame di cosa succede sulla frontiera del dominio e poi si tirano le conclusioni ( se è richiesta la ricerca di Max e min assoluti).
Poiché l'esercizio richiede la determinazione di Max e min nel dominio D della funzione $g(x,y)=2x/3+y $ , va prima di tutto determinato se vi sono punti INTERNI al dominio D che siano di Max e min.
Calcolo quindi il gradiente della funzione obbiettivo e vedo se si annulla :
$g_x =2/3 $
$ g_y= 1 $.
Il gradiente non si annulla mai , quindi non esistono punti di Max o min all'interno del dominio D.
Passo ora a cercare punti di Max o min sulla frontiera del dominio , ricerca già fatta nei post precedenti e che ha dato come risultato che $B=(2,4)$ è punto di Max essendo $g(B)=16/3 $ e $C=(-1/3,1/9) $ è punto di min essendo $g(C)=-1/9.$
In conclusione se viene richiesto di determinare i punti di Max e min di una funzione in un certo dominio va prima verificato se all'interno del dominio ci sono punti di Max e min ; poi si passa all'esame di cosa succede sulla frontiera del dominio e poi si tirano le conclusioni ( se è richiesta la ricerca di Max e min assoluti).
Cerco di rispondere alla domanda specifica di 21 zuclo: perché in questo caso il metodo di Lagrange non funziona ?
Considero il caso dei vincoli presi separatamente.
Primo vincolo : la retta , il sistema ottenuto non ha soluzioni e quindi non si trovano punti di Max e min
Secondo vincolo : la parabola . A mioa vviso in aggiunta alle considerazioni e ai conti fatti da 21zuclo bisogna andare a verificare cosa succede agli estremi dell'intervallo di variazione della variabile $ x $ , cioè verificare cosa succede per $x= -1 $ e per $x= 2 $. si trova così il punto B di Max.
Ritengo che, pur applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange , vada sempre verificato cosa succede agli estremi di un dominio.
Ad esempio se il dominio è un triangolo sia applicando il metodo di Lagrange che quello di ridurre la funzione obbiettivo a funzione di una sola variabile ,va sempre verificato cosa succede ai vertici del triangolo.
Ritengo che entrambi i metodi non siano in grado di "funzionare" nei punti angolosi del dominio.
Commenti , precisazioni , correzioni a quanto da me scritto saranno apprezzati.
Considero il caso dei vincoli presi separatamente.
Primo vincolo : la retta , il sistema ottenuto non ha soluzioni e quindi non si trovano punti di Max e min
Secondo vincolo : la parabola . A mioa vviso in aggiunta alle considerazioni e ai conti fatti da 21zuclo bisogna andare a verificare cosa succede agli estremi dell'intervallo di variazione della variabile $ x $ , cioè verificare cosa succede per $x= -1 $ e per $x= 2 $. si trova così il punto B di Max.
Ritengo che, pur applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange , vada sempre verificato cosa succede agli estremi di un dominio.
Ad esempio se il dominio è un triangolo sia applicando il metodo di Lagrange che quello di ridurre la funzione obbiettivo a funzione di una sola variabile ,va sempre verificato cosa succede ai vertici del triangolo.
Ritengo che entrambi i metodi non siano in grado di "funzionare" nei punti angolosi del dominio.
Commenti , precisazioni , correzioni a quanto da me scritto saranno apprezzati.
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