Metodo di D’Alembert, equazioni alle derivate parziali

[Sandreddu]

Salve a tutti,
non ho ben capito in cosa consiste tale metodo. Posto alcuni esercizi. Ringrazio anticipatamente.
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[gugo82]

Il metodo di d'Alembert consiste in questo: trovare una matrice $((alpha , beta),(gamma , delta))$ (reale o complessa) con $D=|(alpha , beta),(gamma , delta)|!=0$ tale che la sostituzione (o cambiamento di variabili che dir si voglia):

(*) $\{ (x=alpha xi + beta eta),(y=gamma xi + delta eta):}$

semplifichi la PDE in modo da renderla facilmente integrabile.

Se $u(x,y)$ è una funzione abbastanza regolare, poniamo:

$U(xi,eta)=u(alpha xi + beta eta,gamma xi + delta eta)$;

la $U$ ha allora la stessa regolarità di $u$ e risulta:

(**) $\{ (U_xi=alpha u_x+beta u_y),(U_eta=gamma u_x+delta u_y):} => \{ (u_x=delta/D U_xi -beta/D U_eta),(u_y=-gamma/D U_xi +alpha/D U_eta):}$

Se $u$ è soluzione di una PDE lineare del primo ordine (ad esempio) del tipo:

I) $au_x+bu_y=f(x,y,u)$

con $a,b \in RR$, $a!=0!=b$ ed $f\in C(RR)$, applicando la sostituzione (*) e riscrivendo il primo membro in funzione di $U_xi,\ U_eta$ mediante le (**) si trova che $U$ soddisfa l'equazione:

I') $a/D(delta-gamma) U_xi+b/D(alpha -beta) U_eta=phi(xi,eta,U)$

(qui $phi(xi, eta, U(xi,eta)):=f(alpha x+beta eta,gamma xi+delta eta, u(alpha x+beta eta,gamma xi+delta eta))$ è l'espressione del secondo membro risp. alle nuove coordinate), che è un'equazione dello stesso tipo di quella soddisfatta da $u$, in cui però abbiamo libertà nella scelta dei coefficienti.
Ad esempio se si scelgono $beta=0$ e $alpha=delta=gamma=1$ (ma basterebbe $alpha!=0, delta=gamma=1$), la I' diviene:

$b U_eta=phi(xi,xi+eta,U)$

che si può cercare di risolvere integrando primo e secondo membro rispetto ad $eta$.
Una volta ottenuta una soluzione $U(xi,eta)$ di I', la funzione $u(x,y):=U(1/D (delta x-beta y),1/D (-gamma x+alpha y))$ è una soluzione di I.
Nel modo illustrato si risolvono la prima equazione del primo esercizio e l'ultimo esercizio.

Se invece $u$ è soluzione di un'eq. del second'ordine:

II) $au_(xx)+2bu_(xy)+cu_(yy)=f(x,y,v)$

bisogna ricavare $U_(xi xi),\ U_(xi eta),\ U_(eta eta)$ derivando le (**) e sostituirle in II in modo da ricavare un'equazione II' del secondo ordine soddisfatta da $U$.
Se si riescono a scegliere $alpha,beta,gamma,delta$ in modo da semplificare al massimo la II' così da renderla integrabile elementarmente, allora si determina $U(xi,eta)$ e si pone $u(x,y):=U(1/D (delta x-beta y),1/D (-gamma x+alpha y))$ per ottenere una soluzione della II.

Prova a fare un po' di conti; serve un po' d'impegno, ma sono sicuro che non ti manca.

[gibbs helmoltz]

interessante questo metodo!