Metodo delle tangenti di Newton
Ciao a tutti!
Una domanda (credo) semplice...Quali sono le ipotesi per applicare il metodo di Newton e come si stabilisce l'intervallo [a,b] su cui applicarlo?
Grazie!
Una domanda (credo) semplice...Quali sono le ipotesi per applicare il metodo di Newton e come si stabilisce l'intervallo [a,b] su cui applicarlo?
Grazie!
Risposte
"Mad_Jack":
Ciao a tutti!
Quali sono le ipotesi per applicare il metodo di Newton?
Grazie!
Il metodo di Newton funziona se e solo se la funzione $ f $ è derivabile ed $ f'(x)!=0 $ $ AAx in I $ dove $ I $ è ad esempio il dominio della funzione o l'intervallo da te considerato.
Se pensi all'idea che sta dietro al metodo di Newton vedrai che le ipotesi che ho citato prima ti risulteranno sensate.
"Mad_Jack":
Ciao a tutti!
come si stabilisce l'intervallo [a,b] su cui applicarlo?
Grazie!
Non ha molto senso parlare di "intervallo su cui applicarlo", ha più senso parlare di punto di partenza dell'algoritmo. Considerato il punto di partenza dell'algoritmo sotto opportune ipotesi puoi verificare se il metodo converge o meno.
In ogni caso per se ti accorgi che nell'intervallo $ [a,b] $ si ha che $ f(a)*f(b)>0 $ e la funzione è continua allora per il teorema degli zeri puoi subito affermare che la funzione non ha zeri.
"niccoset":
In ogni caso per se ti accorgi che nell'intervallo $ [a,b] $ si ha che $ f(a)*f(b)>0 $ e la funzione è continua allora per il teorema degli zeri puoi subito affermare che la funzione non ha zeri.
Sicuro?
No certo ho detto una cavolata (ho scritto di corsa ed ecco i risultati 
).
Volevo dire che se ti accorgi che $ f(a)*f(b)<0 $ e sai che la funzione $ f $ è continua in $ [a,b] $ allora, per il teorema degli zeri, sai che esiste almeno un punto $ c in (a,b) $ tale che $ f(c)=0 $.
).Volevo dire che se ti accorgi che $ f(a)*f(b)<0 $ e sai che la funzione $ f $ è continua in $ [a,b] $ allora, per il teorema degli zeri, sai che esiste almeno un punto $ c in (a,b) $ tale che $ f(c)=0 $.
Quando impongo che \(\displaystyle \dot {f}(x)\neq 0 \) sull'intervallo in questione sto imponendo che la funzione sia solo crescente o decrescente, giusto? In pratica, escludendo che abbia dei punti di flesso, escludo a priori la possibilità che nell'intervallo si trovino due zeri, è corretto?
E condizioni sulla derivata seconda non devono essere date? Perchè ho trovato da qualche parte che nell'intervallo la derivata seconda deve essere sempre maggiore o sempre minore di zero...
P.S.: grazie per le risposte!
E condizioni sulla derivata seconda non devono essere date? Perchè ho trovato da qualche parte che nell'intervallo la derivata seconda deve essere sempre maggiore o sempre minore di zero...
P.S.: grazie per le risposte!
No, imponi che $ f'(x_0) $ sia diversa da zero perchè altrimenti non arriveresti mai a trovare lo zero.
Per capire il metodo credo sia molto utile farsi un grafico tipo questo: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/i ... ngenti.png
Se ad un certo punto del metodo trovassi che $ f'(x_0)=0 $ vorrebbe dire che la funzione ha in quel punto un massimo o un minimo e quindi un punto a tangente orizzontale.
Se poi la funzione $ f $ ha la derivata prima e la derivata seconda che non cambiano mai di segno vorrebbe dire che il metodo di Newton converge globalmente.
Per capire il metodo credo sia molto utile farsi un grafico tipo questo: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/i ... ngenti.png
Se ad un certo punto del metodo trovassi che $ f'(x_0)=0 $ vorrebbe dire che la funzione ha in quel punto un massimo o un minimo e quindi un punto a tangente orizzontale.
Se poi la funzione $ f $ ha la derivata prima e la derivata seconda che non cambiano mai di segno vorrebbe dire che il metodo di Newton converge globalmente.
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