Metodo delle curve di livello per estremi vincolati
Scusate ma non so da che parte rifarmi! Sul libro su cui studio (McGray Hill) non c'è assolutamente niente del genere, su internet trovo poco o niente ... e gli appunti in cui la prof ha studiato questo metodo mi mancano (nemmeno a farlo apposta).
In pratica io ho la funzione $f(x,y)= x^2 + y^2$ e il vincolo ${g(x,y)= xy <=3 , | x-y | <=7}$. Devo trovare gli estremi vincolati ... l'insieme alla fine è intersezione fra l'iperbole riferita agli assi, e le due rette. La prof mi dice di risolvere l'esercizio con le curve di livello, piuttosto che con i moltiplicatori di Lagrange, che in effetti portano a conti alquanto astrusi.
Io l'unica cosa che so delle curve di livello è che vanno studiate al variare di k ... ad esempio se ho una circonferenza centrata nell'origine, avrò il minimo nell'origine e il massimo non ci sarà perchè la circonferenza sarà sempre più grande man mano che k aumenterà.
In un compito di esame svolto invece, calcolava la distanza fra il centro e la retta tangente alla circonferenza e da li individuava massimo e minimo ... chiaritemi il fumo di Londra che ho in testa vi prego !!
In pratica io ho la funzione $f(x,y)= x^2 + y^2$ e il vincolo ${g(x,y)= xy <=3 , | x-y | <=7}$. Devo trovare gli estremi vincolati ... l'insieme alla fine è intersezione fra l'iperbole riferita agli assi, e le due rette. La prof mi dice di risolvere l'esercizio con le curve di livello, piuttosto che con i moltiplicatori di Lagrange, che in effetti portano a conti alquanto astrusi.
Io l'unica cosa che so delle curve di livello è che vanno studiate al variare di k ... ad esempio se ho una circonferenza centrata nell'origine, avrò il minimo nell'origine e il massimo non ci sarà perchè la circonferenza sarà sempre più grande man mano che k aumenterà.
In un compito di esame svolto invece, calcolava la distanza fra il centro e la retta tangente alla circonferenza e da li individuava massimo e minimo ... chiaritemi il fumo di Londra che ho in testa vi prego !!
Risposte
Poiché \(f(x,y)\) è la distanza al quadrato del punto \((x,y)\) dall'origine, detto \(K\) l'insieme compatto che rappresenta il vincolo, l'esercizio chiede di trovare i punti in \(K\) di minima e massima distanza dall'origine. Basta fare un disegno (di \(K\)) per capire quali debbano essere questi punti.
Ho fatto il disegno di K, ma io non ci vedo proprio niente sinceramente...
"Yumina92":
Ho fatto il disegno di K, ma io non ci vedo proprio niente sinceramente...
Non riesci a vedere quali siano i punti più vicini e più lontani dall'origine?
La regione ammissibile per il problema, i.e.:
\[
A:= \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ xy\leq 3, |x-y|\leq 7\}
\]
è la reagione limitata del piano compresa nella striscia delimitata dalle rette di equazione \(y=x\pm 7\) ed interna ai rami d'iperbole d'equazione \(y=3/x\):
[asvg]xmin=-10; xmax=10; ymin=-10; ymax=10;
axes("","");
strokewidth=0.5;
plot("3/x",0.1,12); plot("3/x",-12,-0.1);
plot("x-7",-12,12); plot("x+7",-12,12);
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("3/x",0.405,7.405); plot("3/x",-7.405,-0.405);
plot("x-7",-0.405,7.405); plot("x+7",-7.405,0.405);[/asvg]
D'altra parte, le linee di livello della "funzione obiettivo", i.e. \(f(x,y):=x^2+y^2\), sono del tipo:
\[
\Gamma(k):\ x^2+y^2=k,\qquad k\geq 0
\]
e perciò sono circonferenze, eventualmente degeneri (eventualità che si presenta solo per $k=0$), aventi centro in \(o=(0,0)\).
Il problema di massimizzare/minimizzare \(f\) sulla regione ammissibile \(A\) equivale a determinare il più grande/piccolo valore del parametro \(k\) per cui la curva di livello \(\Gamma(k)\) interseca la regione ammissibile.
Tale problema ha certamente soluzione, perché \(A\) è compatto ed \(f\) è continua in \(A\).
Disegnando un po' di curve di livello, ci accorgiamo che all'aumentare di \(k\) la circonferenza \(x^2+y^2=k\) si allarga sempre più:
[asvg]xmin=-10; xmax=10; ymin=-10; ymax=10;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=0.5;
plot("3/x",0.405,7.405); plot("3/x",-7.405,-0.405);
plot("x-7",-0.405,7.405); plot("x+7",-7.405,0.405);
strokewidth=2;
stroke="cyan"; circle([0,0],10);
stroke="dodgerblue"; circle([0,0],7.416);
stroke="blue"; circle([0,0],4.5);
stroke="purple"; circle([0,0],2);
stroke="black"; dot([0,0]);
strokewidth=1; marker="arrow"; line([0,0], [2,11]); text([2,11],"k crescenti",belowright);[/asvg]
Quindi, per \(k=0\) e \(k\) "vicini" a \(0\), la curva di livello \(\Gamma(k)\) è tutta contenuta in \(A\); per \(k\) un "poco più grandi", parti sempre più consistenti di \(\Gamma(k)\) saranno esterne ad \(A\); e per \(k\) "sufficientemente grandi", tutta la curva di livello è esterna ad \(A\).
Questo dovrebbe essere sufficiente a farti capire come vanno le cose... Prova un po'.
\[
A:= \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ xy\leq 3, |x-y|\leq 7\}
\]
è la reagione limitata del piano compresa nella striscia delimitata dalle rette di equazione \(y=x\pm 7\) ed interna ai rami d'iperbole d'equazione \(y=3/x\):
[asvg]xmin=-10; xmax=10; ymin=-10; ymax=10;
axes("","");
strokewidth=0.5;
plot("3/x",0.1,12); plot("3/x",-12,-0.1);
plot("x-7",-12,12); plot("x+7",-12,12);
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("3/x",0.405,7.405); plot("3/x",-7.405,-0.405);
plot("x-7",-0.405,7.405); plot("x+7",-7.405,0.405);[/asvg]
D'altra parte, le linee di livello della "funzione obiettivo", i.e. \(f(x,y):=x^2+y^2\), sono del tipo:
\[
\Gamma(k):\ x^2+y^2=k,\qquad k\geq 0
\]
e perciò sono circonferenze, eventualmente degeneri (eventualità che si presenta solo per $k=0$), aventi centro in \(o=(0,0)\).
Il problema di massimizzare/minimizzare \(f\) sulla regione ammissibile \(A\) equivale a determinare il più grande/piccolo valore del parametro \(k\) per cui la curva di livello \(\Gamma(k)\) interseca la regione ammissibile.
Tale problema ha certamente soluzione, perché \(A\) è compatto ed \(f\) è continua in \(A\).
Disegnando un po' di curve di livello, ci accorgiamo che all'aumentare di \(k\) la circonferenza \(x^2+y^2=k\) si allarga sempre più:
[asvg]xmin=-10; xmax=10; ymin=-10; ymax=10;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=0.5;
plot("3/x",0.405,7.405); plot("3/x",-7.405,-0.405);
plot("x-7",-0.405,7.405); plot("x+7",-7.405,0.405);
strokewidth=2;
stroke="cyan"; circle([0,0],10);
stroke="dodgerblue"; circle([0,0],7.416);
stroke="blue"; circle([0,0],4.5);
stroke="purple"; circle([0,0],2);
stroke="black"; dot([0,0]);
strokewidth=1; marker="arrow"; line([0,0], [2,11]); text([2,11],"k crescenti",belowright);[/asvg]
Quindi, per \(k=0\) e \(k\) "vicini" a \(0\), la curva di livello \(\Gamma(k)\) è tutta contenuta in \(A\); per \(k\) un "poco più grandi", parti sempre più consistenti di \(\Gamma(k)\) saranno esterne ad \(A\); e per \(k\) "sufficientemente grandi", tutta la curva di livello è esterna ad \(A\).
Questo dovrebbe essere sufficiente a farti capire come vanno le cose... Prova un po'.
Quindi gli eventuali massimi sarebbero sui punti di incontro fra le rette e l'iperbole?
E nel caso ad esempio, avessi due circonferenze passanti per l'origine, e simmetriche rispetto alla bisettrice y = x come potrei fare?
E nel caso ad esempio, avessi due circonferenze passanti per l'origine, e simmetriche rispetto alla bisettrice y = x come potrei fare?
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