Metodo della fase stazionaria

[alle.fabbri]

Ciao a tutti,
sto avendo dei problemi a capire come il applicare il metodo della fase stazionaria. Se ho ben capito è un metodo di approssimazione per integrali del tipo
[tex]$I(k) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) e^{i k f(x)} dx$[/tex]
per grandi [tex]$k$[/tex]. L'idea è che posso approssimare l'argomento dell'esponenziale con la sua espansione attorno ad un punto di minimo. Se chiamo il punto di minimo [tex]$x_c$[/tex], (con [tex]$f''(x_c)>0$[/tex] e [tex]$f'(x_c)=0$[/tex]) posso scrivere
[tex]$f(x) \approx f(x_c) - f''(x_c) \frac{(x-x_c)^2}{2} + ...$[/tex]
dunque l'integrale si riduce a
[tex]$I(k) \approx e^{ikf(x_c)}\int_{-\infty}^{\infty} g(x) e^{- i k f''(x_c) \frac{(x-x_c)^2}{2}} dx \approx g(x_c) e^{ikf(x_c)} \sqrt{\frac{2\pi}{k f''(x_c)}}$[/tex]
(nell'ultimo passaggio forse manca qualche fattore moltiplicativo ma non dovrebbe troppa differenza)
Ammesso che quello che precede sia vero come procedo nel caso in cui $g(x_c) = 0$? E nel caso in cui l'integrale sia da calcolare su un range finito come si ragiona? Oppure se $f(x)$ non ha punti stazionari? C'è qualcuno che ha qualche link/riferimento a un testo sull'argomento che affronti la questione un po' organicamente e magari con qualche esempio?
Per completezza vi scrivo anche l'integrale che dovrei calcolare con questo metodo
[tex]$J(k) = \int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} e^{ i k \sqrt{x^2+1}}$[/tex]
che mi da problemi perchè la fase è stazionaria per [tex]$x=0$[/tex] e
[tex]$g(0)= \left. \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} \right|_{x=0} =0 $[/tex]
però mi si dice che dovrebbe andare come
[tex]$J(k) \approx e^{ik}$[/tex]
sono confuso...

Grazie in anticipo...

[Rigel1]

Il metodo come da te descritto è applicabile solo se $g(x_c) \ne 0$.
Questi argomenti sono descritti in un libricino della Dover,
N.G. De Bruijn, "Asymptotic methods in analysis".