Metodo del segno (Hessiano Nullo) - Perfezionamento

[alex_28]

Salve a tutti
Per quanto riguarda la classificazione dei punti stazionari di una funzione in $R^2$ , ho dei piccoli dubbi riguardanti l' applicazione del metodo del segno nel momento in cui la $Matrice Hessiana$ mi viene nulla in quel determinato punto stazionario;

Esempio: Ho svolto il seguente esercizio, dove $f(x,y)=1/2x^4-y^4/4$ ;
Il sistema $Gradiente =0$ , ha come unica soluzione $0,0$ , che dunque sarà l' unico punto critico;

La martice Hessiana = $-30x^4y^2$ in tale punto, risulta esser nulla;

Imposto la disequazione per lo studio del segno, che sarà : $1/2x^4-y^4/4>0$ , a questo punto ho difficoltà...
Come procedere? Grazie

[ciampax]

Ci sono molti modi di procedere e non ce n'è uno standard. In questo caso potresti osservare che, se fissi una direzione $y=mx$ (una retta per l'origine) la funzione data ristretta a tale direzione diventa

$F_m(x)=x^4/2-{m^4 x^4}/4=x^4/4(2-m^4)$

Come è facile vedere, tale funzione cambia segno a seconda dei valori di $m$, pertanto quello che ottieni è che il punto $(0,0)$ è una sella.

[alex_28]

Perfetto
Per quanto riguarda invece l' utilizzo del metodo del segno (unico affrontato nel mio corso), posso affermare che 0,0 è di sella, in quanto entrambe le disequazioni (col $<0$ e col $>0$) sono risolvibili.

Mentre se ad esempio avrei potuto risolvere solo la disequazione col $>0$, avrei affermato che il punto era di minimo relativo...

Ho ragionato bene?

[ciampax]

"alex_28":Perfetto
Per quanto riguarda invece l' utilizzo del metodo del segno (unico affrontato nel mio corso), posso affermare che 0,0 è di sella, in quanto entrambe le disequazioni (col $<0$ e col $>0$) sono risolvibili.

Mentre se ad esempio avrei potuto risolvere solo la disequazione col $>0$, avrei affermato che il punto era di minimo relativo...

Ho ragionato bene?

Avessi! Comunque sì, hai ragionato bene.

[alex_28]

Hahaha Grazie

[giuseppe.abbruzzese.7]

"alex_28":Perfetto
Per quanto riguarda invece l' utilizzo del metodo del segno (unico affrontato nel mio corso), posso affermare che 0,0 è di sella, in quanto entrambe le disequazioni (col $<0$ e col $>0$) sono risolvibili.

Mentre se ad esempio avrei potuto risolvere solo la disequazione col $>0$, avrei affermato che il punto era di minimo relativo...

Ho ragionato bene?

in che senso se la disequazione è possibile risolverla sia per maggiore di zero che minore di zero?
Non mi è ben chiaro.