Metodo dei moltiplicatori di Lagrange o sostituzione?

[andrew_1]

Potreste dirmi quando devo utilizzare l'uno o l'altro?

In alcuni libri ho visto la formula in questo modo L(x,y,λ)=f(x,y)+λ*g(x,y) mentre, a noi in classe hanno fatto usare questa L(x,y,λ)=f(x,y)-λ*g(x,y) Quale devo usare???

[_Tipper]

È uguale.

[andrew_1]

Ah... stavo risolvendo un es... però non riesco a risolvere questo sistema... Allora:

48x-18λx=0 (1)
2y+6-2λy=0 (2)
-9x^2-y^2+9=0 (3)

(1) x= 1/(8-3λ)
(2) y= - (3/(1-λ))
(3) 9/(3-8λ)^2+9(1-λ)^2+9=0

faccio il den comune => (3-8λ)^2*(1-λ)^2
Poi svolgo tutti i calcoli però vengono dei numeri giganteschi ed il risultato non è giusto... Non è che si può semplificare qualcosa? Chi mi aiuta?

Thanks!

[_nicola de rosa]

"andrew_":Ah... stavo risolvendo un es... però non riesco a risolvere questo sistema... Allora:

48x-18λx=0 (1)
2y+6-2λy=0 (2)
-9x^2-y^2+9=0 (3)

(1) x= 1/(8-3λ)
(2) y= - (3/(1-λ))
(3) 9/(3-8λ)^2+9(1-λ)^2+9=0

faccio il den comune => (3-8λ)^2*(1-λ)^2
Poi svolgo tutti i calcoli però vengono dei numeri giganteschi ed il risultato non è giusto... Non è che si può semplificare qualcosa? Chi mi aiuta?

Thanks!

la prima equazione quale è? è questa $48x-18λx=0 $ ? dimmi l'esercizio completo.

[andrew_1]

Ok... l'esercizio è:
Determinare i punti stazionari della funzione f(x,y)=24x^2+y^2+6y+2 soggetta al vincolo g(x,y)=9x^2+y^2-9

[_nicola de rosa]

"andrew_":Ok... l'esercizio è:
Determinare i punti stazionari della funzione f(x,y)=24x^2+y^2+6y+2 soggetta al vincolo g(x,y)=9x^2+y^2-9

$L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambda*g(x,y)$.
Ora $(d(L(x,y,lambda)))/(dx)=48x-18x*lambda,(d(L(x,y,lambda)))/(dy)=2y+6-2lambda*y,(d(L(x,y,lambda)))/(d lambda)=g(x,y)$.
Imponendo
${((d(L(x,y,lambda)))/(dx)=48x-18x*lambda=6x(8-3lambda)=0),((d(L(x,y,lambda)))/(dy)=2y+6-2lambda*y=0),((d(L(x,y,lambda)))/(d lambda)=9x^2+y^2-9=0):}$.
dalla prima si ricavano due soluzioni :$x=0,lambda=8/3$
Ora $x=0->y=+-3->lambda_(y=3)=2,lambda_(y=-3)=0$ , mentre $lambda=8/3->y=3/(lambda-1)=9/5->x=+-1/3*sqrt(9-(9/5)^2)=+-4/5$
Quindi i punti di interesse sono $(x,y,lambda)=(0,3,2),(x,y,lambda)=(0,-3,0),(x,y,lambda)=(4/5,9/5,8/3),(x,y,lambda)=(-4/5,9/5,8/3)$.

ora per vederne la natura (massimo, minimo) basta calcolare il valore di $f(x,y)$ nei punti trovati.

[andrew_1]

grazie...! Ti vorrei chiede aiuto anche per questi 2 es.

1) f(x,y) = 4x/y + 2y - 1/x
Determinare i p.ti stazionari e caratt. la natura e determinare gli estremanti nell'insieme g(x,y)= x+y=0

Il problema è che mi incasino nel sistema....


2) Testo: f(x,y)= x*(lnx+1)+2yln(2y)
trovare i p.ti stazionari nell'insieme g(x,y)= 2x+2y-1=0
Per sostituzione ho ottenuto questa equazione:

x(lnx+1)+((1-2x)ln(1-2x))

Per calcolare gli estremanti ho fatto la derivata prima:

D = lnx-2ln(1-2x)

lnx=ln(1-2x)^2
x=(1-2x)^2

Ho risolto però non viene...!

Grazie!

[_nicola de rosa]

"andrew_":grazie...! Ti vorrei chiede aiuto anche per questi 2 es.

1) f(x,y) = 4x/y + 2y - 1/x
Determinare i p.ti stazionari e caratt. la natura e determinare gli estremanti nell'insieme g(x,y)= x+y=0

Il problema è che mi incasino nel sistema....


2) Testo: f(x,y)= x*(lnx+1)+2yln(2y)
trovare i p.ti stazionari nell'insieme g(x,y)= 2x+2y-1=0
Per sostituzione ho ottenuto questa equazione:

x(lnx+1)+((1-2x)ln(1-2x))

Per calcolare gli estremanti ho fatto la derivata prima:

D = lnx-2ln(1-2x)

lnx=ln(1-2x)^2
x=(1-2x)^2

Ho risolto però non viene...!

Grazie!

utilizza sempre i moltiplicatori di lagrange. per il primo:
1)
Il dominio è ${(x,y) in RR^2|x!=0,y!=0}$
$L(x,y,lambda)=(4x)/y+2y-1/x-lambda(x+y)$ ed imponiamo
${((dL)/(dx)=0),((dL)/(dy)=0),((dL)/(d lambda)=0):}$ $<=>$ ${(4/y+1/x^2-lambda=0),(-(4x)/y^2+2-lambda=0),(x+y=0):}$
dalle prime due si ricava $4/y+1/x^2=-(4x)/y^2+2$ e dalla terza $y=-x$ che sostituita nella condizione $4/y+1/x^2=-(4x)/y^2+2$ permette di trovare $x=+-1/(sqrt2),y=-+1/(sqrt2)$ cioè i punti sono
$(1/(sqrt2),-1/(sqrt2)),(-1/(sqrt2),1/(sqrt2))$
senza i moltiplicatori sapendo che $y=-x$ e sostituendo in $f(x,y)$ si ricava $f(x)=-4-2x-1/x$ la cui derivata prima è $-2+1/x^2$ che si annulla in $x=+-1/(sqrt2)$ per cui i punti da considerare sono $(1/(sqrt2),-1/(sqrt2)),(-1/(sqrt2),1/(sqrt2))$ come trovato con i moltiplicatori.
2)Il dominio è ${(x,y) in RR^2|x>0,y>0}$
$L(x,y,lambda)=x(lnx+1)+2yln2y-lambda(2x+2y-1)$ ed imponiamo
${((dL)/(dx)=0),((dL)/(dy)=0),((dL)/(d lambda)=0):}$ $<=>$
${(lnx+2-2lambda=0),(2ln2y+2-2lambda=0),(2x+2y-1=0):}$
dalle prime due si ricava $lnx+2=2ln2y+2->lnx=2ln2y->lnx=ln(4y^2)->x=4y^2$ che sostituita nella terza fornisce
$8y^2+2y-1=0->y=(-1+-3)/8->y_+=1/4->x=1/4,y_(-)=-1/2$. Ovviamente $y_(-)=-1/2$ va scartata perchè il dominio è $y>0$ per l'unico punto è
$(1/4,1/4)$
pure il tuo metodo va bene. infatti tu hai $f(x)=x(lnx+1)+((1-2x)ln(1-2x))$ che ha come dominio $04x^2-5x+1=0->x=(5+-3)/8->x_1=1/4,x_2=1$ ma $x_2=1$ non va accettata perchè esterna al dominio $0

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[andrew_1]

ok... Teoricamente, si potrebbe sempre applicare in tutti gli esercizi il metodo di Lagrange?
Quale dei due mi permette di incasinarmi meno dei calcoli?

Ah... Tu hai messo che dalle prime due equazioni si ricava 4/y+1/x^2=-4x/y^2+2
scusa la mia ingnoranza in materia ma, la λ perchè va via? potresti spiegarmi questo piccolo passaggio?

[Fioravante Patrone1]

"andrew_":ok... Teoricamente, si potrebbe sempre applicare in tutti gli esercizi il metodo di Lagrange?

ovvio che sì. E' un teorema e se le sue ipotesi sono soddisfatte si può applicare.

"andrew_":Quale dei due mi permette di incasinarmi meno dei calcoli?

Attenzione, però: nella tesi del teorema non c'è scritto che sia facile risolvere il sistema che ne viene fuori.
Se vogliamo essere seri, gli esercizi (tipicamente sono di comprensione ed apprendimento effettivo della regola, nulla più) che normalmente vengono dati sul teorema dei moltiplicatori di Lagrange, sono scelti con cura in modo che il sistema sia risolubile.
Prova a scriverti un pb di estremo vincolato che non sia banale e vedi tu cosa ti viene fuori..

"andrew_":Ah... Tu hai messo che dalle prime due equazioni si ricava 4/y+1/x^2=-4x/y^2+2
scusa la mia ingnoranza in materia ma, la λ perchè va via? potresti spiegarmi questo piccolo passaggio?

ricopio da nicola de rosa:

${(4/y+1/x^2-lambda=0),(-(4x)/y^2+2-lambda=0),(x+y=0):}$
dalle prime due si ricava $4/y+1/x^2=-(4x)/y^2+2$

nicola de rosa non ha fatto altro che portare $lambda$ a secondo membro in entrambe le equazioni e quindi ha dedotto (che ardito! ) che i primi membri dovessero essere uguali