Metodi risolutivi $lim_(x ->+oo) (1+sin(1/x))^(x+sqrt(x))

[kotek]

Salve a tutti

vorrei sapere voi come lo risolvereste questo limite?

$lim_(x ->+oo) (1+sin(1/x))^(x+sqrt(x))$

Io l'ho risolto in questo modo:

pongo: $1/x=y$

$lim_(y ->0) (1+sin(y))^(1/y+1/sqrt(y))$

$lim_(y ->0) e^(log(1+sin(y))/sin(y)*(sin(y)(sqrt(y)+y))/(ysqrt(y)))$

$lim_(y ->0) e^(1+sqrt(y))$

risultato: $e$

Voi come fareste?

[Lorin1]

Mi sembra tutto corretto!

[gugo82]

"kotek":$lim_(x ->+oo) (1+sin(1/x))^(x+sqrt(x))$

[...] Voi come fareste?

Io farei così.
Dato che:

[tex]$\left( 1+\sin \frac{1}{x} \right)^{x+\sqrt{x}} =\left[ \left( 1+\sin \frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{\sin \frac{1}{x}}}\right]^{(x+\sqrt{x})\ \sin \frac{1}{x}}$[/tex]

e poiché risulta:

[tex]$\lim_{x\to +\infty} \left( 1+\sin \frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{\sin \frac{1}{x}}} =e$[/tex]

[tex]$\lim_{x\to +\infty} (x+\sqrt{x})\ \sin \frac{1}{x} = \lim_{x\to +\infty} \left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\ \frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} =1$[/tex]

(per i limiti notevoli [tex]$\lim_{y\to 0} (1+y)^{\frac{1}{y}} =e$[/tex], [tex]$\lim_{y\to 0} \tfrac{\sin y}{y} =1$[/tex]), per i teoremi sui limiti si ha:

[tex]$\lim_{x\to +\infty} \left( 1+\sin \frac{1}{x} \right)^{x+\sqrt{x}} = \lim_{x\to +\infty} \left[ \left( 1+\sin \frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{\sin \frac{1}{x}}}\right]^{(x+\sqrt{x})\ \sin \frac{1}{x}} =e^1=e$[/tex].

[Sk_Anonymous]

Ciao, è sbagliato risolverlo così?
$ lim_(x -> +oo ) $ $(1+sin(1/x))^(x+sqrt(x))= lim_(x -> +oo ) (1+(1/x))^(x+sqrt(x))= lim_(x -> +oo ) (1+(1/x))^x * (1+(1/x))^sqrt(x)= lim_(x -> +oo ) e*((1+(1/x))^x)^(1/sqrt(x))=e lim_(x -> +oo ) e^(1/sqrt(x))=e*e^0=e$?

[Sk_Anonymous]

nessuno risponde?

[kotek]

Si. Perchè $ sin(1/x)$ è asintoticamente equivalente a $1/x $ per $x ->+oo$. Tu l'hai vista in questo modo?

[ciampax]

Soscia è giusto anche il tuo metodo. (anche perché. sostanzialmente, è una via di mezzo tra il primo metodo e quello di Gugo).

[Sk_Anonymous]

"kotek":Si. Perchè $ sin(1/x)$ è asintoticamente equivalente a $1/x $ per $x ->+oo$. Tu l'hai vista in questo modo?

si, io l'ho risolto così, però non sapevo se fosse corretto dal momento che, quando né la base né l'esponente sono fissi, fare questo tipo di semplificazione può modificare il risultato...

[Sk_Anonymous]

"ciampax":Soscia è giusto anche il tuo metodo. (anche perché. sostanzialmente, è una via di mezzo tra il primo metodo e quello di Gugo).

bene.