Metodi Matematici Ex
Ciao a tutti!
Sto studiando per l'esame di matematicaII, ma ho riscontrato diversi problemi nel capire il funzionamento degli esercizi. Tutto questo a causa delle lezioni semplicemente PESSIME del docente, e ad una mancanza di testi da dove studiare (ne ho trovati alcuni, ma capire tutto da solo è davvero dura). Volevo sapere se qualcuno è disponibile a spiegarmi o anche a linkarmi un sito o un libro, su cui possa capire come fungono questi esercizi. Sono ben consapevole che non sono pochi (sono addirittura 6), e perciò mi reterrei fortunato nel caso me ne riuscite a spiegare anche solo uno.
1)Determinare le singolarità isolate delle seguenti funzioni, determinare il tipo delle singolarità e calcolare i residui nei punti singolari.
$senz / (e^z-1)$
${e^(3 / (z+1))} / (z^2+1)$
2)Calcolare la trasformata di Fourier della funzione:
$f(t)=(cos3t)/(t^2+2t+2)$
3)Si scriva la serie di Fourier associata alla funzione f, periodica di periodo 10, tale che $f(x)=0$ per x appartenente [-5,0[, $f(x)=3$ per x appartenente ]0,5[. Se ne discuta la convergenza
4) Ricercare estremi assoluti di $x+y+z$ nell'insieme $x^2+y^2+z^2-1=0$
5) Stabilire se la funzione è olomorfa
$f(z)=(Re) e^z-i (Im) e^z
6) Risolvere (con cosa???):
$y'=(1-y^2) sin^2x$
Ringrazio anticipatamente tutti quelli che ci vorranno provare.
PoLe
Sto studiando per l'esame di matematicaII, ma ho riscontrato diversi problemi nel capire il funzionamento degli esercizi. Tutto questo a causa delle lezioni semplicemente PESSIME del docente, e ad una mancanza di testi da dove studiare (ne ho trovati alcuni, ma capire tutto da solo è davvero dura). Volevo sapere se qualcuno è disponibile a spiegarmi o anche a linkarmi un sito o un libro, su cui possa capire come fungono questi esercizi. Sono ben consapevole che non sono pochi (sono addirittura 6), e perciò mi reterrei fortunato nel caso me ne riuscite a spiegare anche solo uno.
1)Determinare le singolarità isolate delle seguenti funzioni, determinare il tipo delle singolarità e calcolare i residui nei punti singolari.
$senz / (e^z-1)$
${e^(3 / (z+1))} / (z^2+1)$
2)Calcolare la trasformata di Fourier della funzione:
$f(t)=(cos3t)/(t^2+2t+2)$
3)Si scriva la serie di Fourier associata alla funzione f, periodica di periodo 10, tale che $f(x)=0$ per x appartenente [-5,0[, $f(x)=3$ per x appartenente ]0,5[. Se ne discuta la convergenza
4) Ricercare estremi assoluti di $x+y+z$ nell'insieme $x^2+y^2+z^2-1=0$
5) Stabilire se la funzione è olomorfa
$f(z)=(Re) e^z-i (Im) e^z
6) Risolvere (con cosa???):
$y'=(1-y^2) sin^2x$
Ringrazio anticipatamente tutti quelli che ci vorranno provare.
PoLe
Risposte
Ciao a tutti!
Sto studiando per l'esame di matematicaII, ma ho riscontrato diversi problemi nel capire il funzionamento degli esercizi. Tutto questo a causa delle lezioni semplicemente PESSIME del docente, e ad una mancanza di testi da dove studiare (ne ho trovati alcuni, ma capire tutto da solo è davvero dura). Volevo sapere se qualcuno è disponibile a spiegarmi o anche a linkarmi un sito o un libro, su cui possa capire come fungono questi esercizi. Sono ben consapevole che non sono pochi (sono addirittura 6), e perciò mi reterrei fortunato nel caso me ne riuscite a spiegare anche solo uno.
Questo dipende un po dal programma che fai.
Io ad esempio per l'esame di metodi matematici ho usato il codegone e il marini.
$senz / (e^z-1)$
Ad occhio per $z=0$ hai una singolarità eliminabile, Infatti se non sbaglio $z / (e^z-1) $per z che tende a zero fa e.
Invece ${e^(3 / (z+1))} / (z^2+1)$ dovrebbe avere una singolarità essenziale per $z=1$ infatti se fai il limite sinistro viene zero se fai il limite destro viene infinito.
Per quanto riguarda la serie.
Devi farti l'integrale per trovarti i coefficienti...e credo sia piuttosto palloso
5) Stabilire se la funzione è olomorfa
$f(z)=(Re) e^z-i (Im) e^z
Se poni $z=x+iy$ e usi Eulero hai che : $(Re) e^z=cosx$ mentre $(Im) e^z =seny$
Ora applichi le condizioni di derivabilità In c.
Hai che la derivata rispetto ad x è $-senx$ mentre la derivata rispetto ad Y è $-icosy$
ma $-i senx$ è diverso da $-i cosy$.
Ergo la funzione non è olomorfa
Spero di non aver sbagliato nulla....
Ho fatto tutto velocemente.
Dimenticavo :
${e^(3 / (z+1))} / (z^2+1)$ ha anche 2 poli del primo ordine in $z=i$ e $z=-i$
${e^(3 / (z+1))} / (z^2+1)$ ha anche 2 poli del primo ordine in $z=i$ e $z=-i$
Ad occhio per $z=0$ hai una singolarità eliminabile, Infatti se non sbaglio $z / (e^z-1) $per z che tende a zero fa e.
Sbagliavo...non fa e fa 1
vi kiedo scusa per la mia ignoranza, ma sono tornato! riprendendo in mano gli esercizi... se ho capito bene per quanto riguarda
esercizio 1: devo fare il limte sui punti critici per sapere di che tipo è la singolarità. se il limite è uguale a 0 ho una singolarità eliminabile, se i limiti (sx e dx) sono diversi ho una singolarità essenziale.
mi rimane da capire come identifico un polo e come si calcolano i residui.
esercizio2: nn sono ancora riuscito a trovare risposta
esercizio3: credo di aver capito. con domani vedo xD
esercizio4: nn sono ancora riuscito a trovare risposta
esercizio5: penso proprio di aver capito.
esercizio6: corregetemi ma... devo sostituire $y'$ con $dy/dx$ e integrare?
vi ringrazio tantissimo!
PoLe
esercizio 1: devo fare il limte sui punti critici per sapere di che tipo è la singolarità. se il limite è uguale a 0 ho una singolarità eliminabile, se i limiti (sx e dx) sono diversi ho una singolarità essenziale.
mi rimane da capire come identifico un polo e come si calcolano i residui.
esercizio2: nn sono ancora riuscito a trovare risposta
esercizio3: credo di aver capito. con domani vedo xD
esercizio4: nn sono ancora riuscito a trovare risposta
esercizio5: penso proprio di aver capito.
esercizio6: corregetemi ma... devo sostituire $y'$ con $dy/dx$ e integrare?
vi ringrazio tantissimo!
PoLe
Io ti posso aiutare solo sul primo esercizio.
Allora:
Ci sono 2 modi per Classificare le singolarità.
1) Con i limiti:
a) se ti risulta un numero finito hai una singolarità eliminabile.
b) Se il limite risulta infinito hai un polo.
c) Se il limite dx e sx non coincidono(ovvero il limite non esiste) hai una singolarità essenziale.
2) Fai lo Sviluppo in serie di Laurent nel cerchio bucato di raggio r e centrato in $z_0$ dove ovviamente $z_0$ è un punto critico.
a)Se lo sviluppo non contiene nessun $c_{-n}$ hai una discontinuità eliminabile
b) Se lo sviluppo contiene un numero finito di coefficienti $c_{-n} \ne 0$ Hai un polo, E l'ordine del polo è il il piu grande $n$ per cui $c_{-n} \ne 0$
3)Se hai un numero infinito di coefficenti $c_{-n} \ne 0$ hai una singolarità essenziale.
Per Quanto riguarda il residuo:
Il residuo è il primo coefficente della parte singolare della serie di Laurent ovvero il $c_{-1}$
Altrimenti
Si consideri lo sviluppo in serie di Laurent di una funzione f olomorfa rispetto ad un cerchio
bucato $BR(z0) $\ ${z0} $ (ovvero la corona circolare degenere C0,R(z0)), e sia 0 < r < R. Il coefficiente
$C_{-1}(Z_0)=1/(2\pi i) \int_{C_{r}(z_0)} f(z) dz$
Allora:
Ci sono 2 modi per Classificare le singolarità.
1) Con i limiti:
a) se ti risulta un numero finito hai una singolarità eliminabile.
b) Se il limite risulta infinito hai un polo.
c) Se il limite dx e sx non coincidono(ovvero il limite non esiste) hai una singolarità essenziale.
2) Fai lo Sviluppo in serie di Laurent nel cerchio bucato di raggio r e centrato in $z_0$ dove ovviamente $z_0$ è un punto critico.
a)Se lo sviluppo non contiene nessun $c_{-n}$ hai una discontinuità eliminabile
b) Se lo sviluppo contiene un numero finito di coefficienti $c_{-n} \ne 0$ Hai un polo, E l'ordine del polo è il il piu grande $n$ per cui $c_{-n} \ne 0$
3)Se hai un numero infinito di coefficenti $c_{-n} \ne 0$ hai una singolarità essenziale.
Per Quanto riguarda il residuo:
Il residuo è il primo coefficente della parte singolare della serie di Laurent ovvero il $c_{-1}$
Altrimenti
Si consideri lo sviluppo in serie di Laurent di una funzione f olomorfa rispetto ad un cerchio
bucato $BR(z0) $\ ${z0} $ (ovvero la corona circolare degenere C0,R(z0)), e sia 0 < r < R. Il coefficiente
$C_{-1}(Z_0)=1/(2\pi i) \int_{C_{r}(z_0)} f(z) dz$
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