Metodi Matematici: Distribuzioni
Salve a tutti,
volevo alcuni chiarimenti riguardo le distribuzioni: come e possibile riconoscere se una funzione puo essere o meno riconosciuta nel senso delle distribuzioni? Ad esempio $1/(t^2)$ applicata a una test-funzione ha senso? E $1/t$ ?
Vi chiedo in particolare di queste due funzioni perché sugli appunti risulta che la prima non è una distribuzione, la seconda si.
Inoltre non ho ben compreso il motivo per cui $L^1loc(R)sube D'(R)$ oppure $L^2loc(R)sube D'(R)$...
Vi ringrazio anticipatamente
volevo alcuni chiarimenti riguardo le distribuzioni: come e possibile riconoscere se una funzione puo essere o meno riconosciuta nel senso delle distribuzioni? Ad esempio $1/(t^2)$ applicata a una test-funzione ha senso? E $1/t$ ?
Vi chiedo in particolare di queste due funzioni perché sugli appunti risulta che la prima non è una distribuzione, la seconda si.
Inoltre non ho ben compreso il motivo per cui $L^1loc(R)sube D'(R)$ oppure $L^2loc(R)sube D'(R)$...
Vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Prendiamo una funzione \(f\in L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\) e consideriamo l'assegnazione:
\[
\tag{1}
C_c^\infty (\mathbb{R})\ni \phi \mapsto \int_\mathbb{R} f(x)\ \phi(x)\ \text{d} x\; .
\]
Innanzitutto, notiamo che \(\int_\mathbb{R} f(x)\ \phi(x)\ \text{d} x\) è un numero reale.
L'assegnazione (1), allora, definisce una funzione sullo spazio delle funzioni test \(C_c^\infty (\mathbb{R})\) la quale prende valori reali; se conveniamo, come si usa, di chiamare funzionale una funzione che ha per dominio uno spazio vettoriale e per codominio l'insieme dei reali, l'applicazione definita dalla (1) è un funzionale.
Inoltre, per sottolineare il fatto che tale funzione dipende dalla scelta di \(f\), possiamo denotare il funzionale (1) con la lettera \(F\): così abbiamo[nota]Al posto della classica notazione di dipendenza funzionale \(F(\phi)\), per denotare il valore preso dal funzionale \(F\) sull'elemento \(\phi\) in ambito distribuzionale si preferisce usare la notazione \(\langle F,\phi \rangle\). La motivazione di questa scelta, in verità ottima, è un po' riposta e perciò non ci spendo molte parole: basti sapere che essa è usata per evitare ambiguità (così come il nome "funzionale" al posto di "funzione").[/nota]:
\[
\tag{2}
\begin{split}
F: C_c^\infty (\mathbb{R}) &\rightarrow \mathbb{R}\\
\phi &\mapsto \langle F,\phi \rangle := \int_\mathbb{R} f(x)\ \phi(x)\ \text{d} x
\end{split}
\]
Analizziamo le proprietà di cui gode il funzionale \(F\).
In primis, \(F\) è lineare.
In secundis, \(F\) è continua.
Pertanto, per definizione, \(F\) è una distribuzione (cioé un funzionale lineare e continuo di dominio \(C_c^\infty(\mathbb{R})\)) e ciò si denota scrivendo \(F\in \mathcal{D}^\prime\).
Dato che \(F\) dipende dalla scelta di \(f\), chiamiamo il funzionale \(F\) distribuzione individuata dalla funzione localmente sommabile \(f\).
Notiamo che, se \(g \in L_{\rm loc}^1 (\mathbb{R})\) è una funzione che coincide quasi ovunque (rispetto alla misura di Lebesgue) con \(f\), risulta:
\[
\int_\mathbb{R} g(x)\ \phi (x)\ \text{d} x = \int_\mathbb{R} f(x)\ \phi (x)\ \text{d} x\; ,
\]
ossia \(\langle G,\phi \rangle =\langle F,\phi\rangle\) per ogni test \(\phi\) e ciò equivale a dire \(G=F\). Questo significa che due funzioni localmente sommabili coincidenti quasi ovunque individuano lo stesso funzionale.
Tenendo presente che gli elementi di \(L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\) sono, in effetti, insiemi di funzioni coincidenti quasi ovunque, quanto appena stabilito implica che l'applicazione:
\[
\begin{split}
i: L_{\rm loc}^1(\mathbb{R}) &\rightarrow \mathcal{D}^\prime\\
f &\mapsto F
\end{split}
\]
è ben definita e consente di "identificare" \(L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\) con l'insieme di distribuzioni \(i\left( L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\right) \subseteq \mathcal{D}^\prime\).
Pertanto, con evidente abuso di notazione, si può scrivere \(L_{\rm loc}^1(\mathbb{R}) \subseteq \mathcal{D}^\prime\) e, con evidentissimo abuso di linguaggio, si può dire che "le funzioni di \(L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\) sono distribuzioni".
Inoltre, si può provare che non tutte le distribuzioni sono individuate da funzioni di \(L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\), cioé che l'inclusione \(L_{\rm loc}^1(\mathbb{R}) \subseteq \mathcal{D}^\prime\) è stretta.
Il tipico esempio di distribuzione che non è individuata da una funzione localmente sommabile è:
\[
\begin{split}
\delta: C_c^\infty (\mathbb{R}) &\rightarrow \mathbb{R}\\
\phi &\mapsto \langle \delta ,\phi \rangle := \phi(0)
\end{split}
\]
detta delta di Dirac (centrata in \(0\)): infatti, è possibile provare che non esiste alcuna funzione \(d\in L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\) tale che risulti:
\[
\langle \delta ,\phi \rangle = \int_\mathbb{R} d(x)\ \phi(x)\ \text{d} x
\]
per ogni test \(\phi\in C_c^\infty (\mathbb{R})\).
***
Per quanto riguarda la generica funzione di \(f\in L_{\rm loc}^2(\mathbb{R})\) notiamo che, applicando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, troviamo:
\[
\begin{split}
\int_K \left| f(x)\right|\ \text{d} x &= \left| \int_K \left| f(x) \right| \ 1\ \text{d} x \right|\\
&\stackrel{\text{C-S}}{\leq} \sqrt{\int_K f^2(x)\ \text{d} x\ }\ \sqrt{\int_K 1\ \text{d} x\ }\\
&=\sqrt{m(K)}\ \sqrt{\int_K f^2(x)\ \text{d} x\ }\\
&<\infty
\end{split}
\]
per qualsivoglia compatto \(K\subset \mathbb{R}\) (lì \(m(K)\) è la misura di Lebesgue di \(K\)); dunque \(f\) è sommabile sul compatto \(K\) ed, in virtù dell'arbitrarietà nella scelta di \(K\), concludiamo che \(f\in L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\).
Abbiamo così provato che vale l'inclusione \(L_{\rm loc}^2 (\mathbb{R}) \subseteq L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\); ma, dato che \(L_{\rm loc}^1(\mathbb{R}) \subset \mathcal{D}^\prime\), si ha pure \(L_{\rm loc}^2 (\mathbb{R}) \subset \mathcal{D}^\prime\) cioé "anche le funzioni di \(L_{\rm loc}^2(\mathbb{R})\) sono distribuzioni".
***
Per quel che riguarda le due funzioni:
\[
f_1(x) := \frac{1}{x}\quad \text{e}\quad f_2(x) := \frac{1}{x^2}
\]
non sono in \(L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\) (perché non sono sommabili su nessun compatto che contenga lo \(0\)), dunque esse non individuano "canonicamente" (cioé nel senso della (2)) alcuna distribuzione.
Tuttavia, esistono modi per superare in parte questo problema ed associare anche ad \(f_1\) una distribuzione... Ma meglio che non mi addentri in questo ginepraio.
\[
\tag{1}
C_c^\infty (\mathbb{R})\ni \phi \mapsto \int_\mathbb{R} f(x)\ \phi(x)\ \text{d} x\; .
\]
Innanzitutto, notiamo che \(\int_\mathbb{R} f(x)\ \phi(x)\ \text{d} x\) è un numero reale.
L'assegnazione (1), allora, definisce una funzione sullo spazio delle funzioni test \(C_c^\infty (\mathbb{R})\) la quale prende valori reali; se conveniamo, come si usa, di chiamare funzionale una funzione che ha per dominio uno spazio vettoriale e per codominio l'insieme dei reali, l'applicazione definita dalla (1) è un funzionale.
Inoltre, per sottolineare il fatto che tale funzione dipende dalla scelta di \(f\), possiamo denotare il funzionale (1) con la lettera \(F\): così abbiamo[nota]Al posto della classica notazione di dipendenza funzionale \(F(\phi)\), per denotare il valore preso dal funzionale \(F\) sull'elemento \(\phi\) in ambito distribuzionale si preferisce usare la notazione \(\langle F,\phi \rangle\). La motivazione di questa scelta, in verità ottima, è un po' riposta e perciò non ci spendo molte parole: basti sapere che essa è usata per evitare ambiguità (così come il nome "funzionale" al posto di "funzione").[/nota]:
\[
\tag{2}
\begin{split}
F: C_c^\infty (\mathbb{R}) &\rightarrow \mathbb{R}\\
\phi &\mapsto \langle F,\phi \rangle := \int_\mathbb{R} f(x)\ \phi(x)\ \text{d} x
\end{split}
\]
Analizziamo le proprietà di cui gode il funzionale \(F\).
In primis, \(F\) è lineare.
In secundis, \(F\) è continua.
Pertanto, per definizione, \(F\) è una distribuzione (cioé un funzionale lineare e continuo di dominio \(C_c^\infty(\mathbb{R})\)) e ciò si denota scrivendo \(F\in \mathcal{D}^\prime\).
Dato che \(F\) dipende dalla scelta di \(f\), chiamiamo il funzionale \(F\) distribuzione individuata dalla funzione localmente sommabile \(f\).
Notiamo che, se \(g \in L_{\rm loc}^1 (\mathbb{R})\) è una funzione che coincide quasi ovunque (rispetto alla misura di Lebesgue) con \(f\), risulta:
\[
\int_\mathbb{R} g(x)\ \phi (x)\ \text{d} x = \int_\mathbb{R} f(x)\ \phi (x)\ \text{d} x\; ,
\]
ossia \(\langle G,\phi \rangle =\langle F,\phi\rangle\) per ogni test \(\phi\) e ciò equivale a dire \(G=F\). Questo significa che due funzioni localmente sommabili coincidenti quasi ovunque individuano lo stesso funzionale.
Tenendo presente che gli elementi di \(L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\) sono, in effetti, insiemi di funzioni coincidenti quasi ovunque, quanto appena stabilito implica che l'applicazione:
\[
\begin{split}
i: L_{\rm loc}^1(\mathbb{R}) &\rightarrow \mathcal{D}^\prime\\
f &\mapsto F
\end{split}
\]
è ben definita e consente di "identificare" \(L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\) con l'insieme di distribuzioni \(i\left( L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\right) \subseteq \mathcal{D}^\prime\).
Pertanto, con evidente abuso di notazione, si può scrivere \(L_{\rm loc}^1(\mathbb{R}) \subseteq \mathcal{D}^\prime\) e, con evidentissimo abuso di linguaggio, si può dire che "le funzioni di \(L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\) sono distribuzioni".
Inoltre, si può provare che non tutte le distribuzioni sono individuate da funzioni di \(L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\), cioé che l'inclusione \(L_{\rm loc}^1(\mathbb{R}) \subseteq \mathcal{D}^\prime\) è stretta.
Il tipico esempio di distribuzione che non è individuata da una funzione localmente sommabile è:
\[
\begin{split}
\delta: C_c^\infty (\mathbb{R}) &\rightarrow \mathbb{R}\\
\phi &\mapsto \langle \delta ,\phi \rangle := \phi(0)
\end{split}
\]
detta delta di Dirac (centrata in \(0\)): infatti, è possibile provare che non esiste alcuna funzione \(d\in L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\) tale che risulti:
\[
\langle \delta ,\phi \rangle = \int_\mathbb{R} d(x)\ \phi(x)\ \text{d} x
\]
per ogni test \(\phi\in C_c^\infty (\mathbb{R})\).
***
Per quanto riguarda la generica funzione di \(f\in L_{\rm loc}^2(\mathbb{R})\) notiamo che, applicando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, troviamo:
\[
\begin{split}
\int_K \left| f(x)\right|\ \text{d} x &= \left| \int_K \left| f(x) \right| \ 1\ \text{d} x \right|\\
&\stackrel{\text{C-S}}{\leq} \sqrt{\int_K f^2(x)\ \text{d} x\ }\ \sqrt{\int_K 1\ \text{d} x\ }\\
&=\sqrt{m(K)}\ \sqrt{\int_K f^2(x)\ \text{d} x\ }\\
&<\infty
\end{split}
\]
per qualsivoglia compatto \(K\subset \mathbb{R}\) (lì \(m(K)\) è la misura di Lebesgue di \(K\)); dunque \(f\) è sommabile sul compatto \(K\) ed, in virtù dell'arbitrarietà nella scelta di \(K\), concludiamo che \(f\in L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\).
Abbiamo così provato che vale l'inclusione \(L_{\rm loc}^2 (\mathbb{R}) \subseteq L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\); ma, dato che \(L_{\rm loc}^1(\mathbb{R}) \subset \mathcal{D}^\prime\), si ha pure \(L_{\rm loc}^2 (\mathbb{R}) \subset \mathcal{D}^\prime\) cioé "anche le funzioni di \(L_{\rm loc}^2(\mathbb{R})\) sono distribuzioni".
***
Per quel che riguarda le due funzioni:
\[
f_1(x) := \frac{1}{x}\quad \text{e}\quad f_2(x) := \frac{1}{x^2}
\]
non sono in \(L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\) (perché non sono sommabili su nessun compatto che contenga lo \(0\)), dunque esse non individuano "canonicamente" (cioé nel senso della (2)) alcuna distribuzione.
Tuttavia, esistono modi per superare in parte questo problema ed associare anche ad \(f_1\) una distribuzione... Ma meglio che non mi addentri in questo ginepraio.
Risposta completissima e chiarissima: grazie per avermi dedicato il tuo tempo 
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