Metodi esecutivi Analisi I
Ciao ragazzi, la prossima settimana sosterrò il compito di Analisi Matematica I.
Gli esercizi che vengono proposti sono abbastanza "standard", nel senso che le richieste sono simili.
Vorrei quindi esporvi i metodi di risoluzione degli esercizi per vedere se mi è tutto chiaro oppure c'è qualche argomento sul quale devo fare più attenzione. Ovviamente mi riferisco agli esercizi inerenti allo studio di funzione, poiché per quanto riguarda limiti, integrali, e serie, oltre ad un unico metodo, penso ci siano diversi approcci che sarebbe difficile da sintetizzare.
1) Campo d'esistenza : Ovviamente dipende dalla funzione, faccio il dominio, e chi s'è visto s'è visto.
2) Determinare $ f^(-1)([a,+oo)) $ (con a numero reale) : Studio la positività della funzione e vedo per quali valori rientra nell'intervallo indicato (anche se non ne sono sicuro perché abbiamo fatto poca pratica in questo).
3) Studiare continuità funzione: Studio il dominio e studio il comportamento della funzione per x->"estremi del dominio"
4) Studiare derivabilità :Calcolo il dominio della derivata e se la funzione è definita a tratti, bisogna calcolare la derivata nei punti in cui la funzione cambia legge.
5) Determinare intervalli di monotonia : Calcolo la derivata della funzione e dopo vedo in che intervalli è positiva.
6) Determinare asintoti : Applico le formule standard per trovarmi i vari asintoti.
Gli esercizi che vengono proposti sono abbastanza "standard", nel senso che le richieste sono simili.
Vorrei quindi esporvi i metodi di risoluzione degli esercizi per vedere se mi è tutto chiaro oppure c'è qualche argomento sul quale devo fare più attenzione. Ovviamente mi riferisco agli esercizi inerenti allo studio di funzione, poiché per quanto riguarda limiti, integrali, e serie, oltre ad un unico metodo, penso ci siano diversi approcci che sarebbe difficile da sintetizzare.
1) Campo d'esistenza : Ovviamente dipende dalla funzione, faccio il dominio, e chi s'è visto s'è visto.
2) Determinare $ f^(-1)([a,+oo)) $ (con a numero reale) : Studio la positività della funzione e vedo per quali valori rientra nell'intervallo indicato (anche se non ne sono sicuro perché abbiamo fatto poca pratica in questo).
3) Studiare continuità funzione: Studio il dominio e studio il comportamento della funzione per x->"estremi del dominio"
4) Studiare derivabilità :Calcolo il dominio della derivata e se la funzione è definita a tratti, bisogna calcolare la derivata nei punti in cui la funzione cambia legge.
5) Determinare intervalli di monotonia : Calcolo la derivata della funzione e dopo vedo in che intervalli è positiva.
6) Determinare asintoti : Applico le formule standard per trovarmi i vari asintoti.
Risposte
"mkthlmb":
2) Determinare $ f^(-1)([a,+oo)) $ (con a numero reale) : Studio la positività della funzione e vedo per quali valori rientra nell'intervallo indicato (anche se non ne sono sicuro perché abbiamo fatto poca pratica in questo).
Mica tanto corretto...
Nota che l'insieme \(f^{-1}\big( [a,+\infty [\big)\) è per definizione dato da:
\[
f^{-1}\big( [a,+\infty [\big) := \big\{ x\in \operatorname{Dom} f:\ f(x)\geq a \big\}
\]
cosicché coincide con l'insieme delle soluzioni della disequazione:
\[
f(x)\geq a\; .
\]
In particolare, solo se $a=0$ l'insieme \(f^{-1}\big( [a,+\infty [\big)\) si ottiene studiando il segno di $f$, poiché in tal caso esso coincide con l'insieme delle soluzioni di $f(x)\geq 0$.
Inoltre, nella pratica non sempre è possibile risolvere "a mano" la disequazione $f(x)\ge a$ ed alcune volte può risultare utile tracciare (con sufficiente precisione) il grafico qualitativo di $f$ per individuare (in maniera approssimata, ma non approssimativa) l'insieme delle soluzioni del problema.
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