Media integrale

[Raffa851]

Data la definizione di media integrale dire se la seguente affermazione è vero o falsa
$ (1/2)int_(-2)^(2) f (x) dx =2 $ allora $ EE cin [-2,2] $ tale che $ f (c)=1 $
Ammetto di avere lacune sugli integrali, sapete spiegarmi come farlo ?

[gugo82]

Cos'è la media integrale?

[Raffa851]

Il teorema della media integrale dice che dato un integrale definito su un intervallo ab vale
$ int_(a)^(b) f (x) dx = f (x_(0))*(b-a) $

[pilloeffe]

Ciao Raffa85,

Cosa accade se $a = - 2 $, $ b = 2 $ e $f(x_0) = 1 $ ?

[gugo82]

@ Raffa85: Volendo essere pignoli, la domanda era di definire la media integrale, non quella di enunciare il teorema relativo...

La media integrale di una funzione limitata ed integrabile in $[a,b]$ è il numero:
\[
\hat{f} := \frac{1}{b-a}\ \int_a^b f(x)\ \text{d} x\; ;
\]
il TdMI ti assicura che se $f$ è continua in $[a,b]$ allora $hat(f)$ è un valore assunto da $f$, i.e. che esiste $c in [a,b]$ tale che $f(c)=hat{f}$, ma senza l'ipotesi di continuità l'esistenza di un tale $c$ non si può in generale dimostrare.[nota]Tuttavia rimane vero che \(\inf_{[a,b]} f \leq \hat{f} \leq \sup_{[a,b]} f\).[/nota]

Nel tuo caso, la media integrale della tua $f$ in $[-2,2]$ è data da:
\[
\hat{f} = \frac{1}{2-(-2)}\ \int_{-2}^2 f(x)\ \text{d} x = \frac{1}{4}\cdot \int_{-2}^2 f(x)\ \text{d} x = \frac{1}{2}\cdot 2 = 1\; ,
\]
ma, visto che non è precisato nulla circa la continuità di $f$, non puoi asserire che esiste $c in [a,b]$ tale che $f(c)=1$.