Media geoaritmetica
Salve a tutti, sono uno studente del cdl triennale in matematica.
Per il corso di laboratorio matematico-informatico mi è stata assegnata la seguente traccia da svolgere in ambiente Maple (8):
Dati due num reali a, b strettamente positivi e date due medie m1, m2 (ad es. la media geometrica, la media aritmetica, la media armonica), restano definite due successioni:
a1=m1(a,b), a2=m1(a1,b1), ..., a(n+1)=m1(an,bn)
b1=m1(a,b), b2=m2(a1,b1), ..., b(n+1)=m2(an,bn)
Nel caso della media aritm. e della media geom., an e bn convergono allo stesso valore (dimostrabile "con carta e penna"); date due medie qualsiasi vedere che succede.
Tralasciando in questa sede lo svolgimento "informatico" (per cui ho aperto una discussione nell'apposita area del forum fornendo un soluzione grezza al problema: per qualsiasi media vi è effitivamente convergenza di an e bn ad uno stesso valore), sarei intressato a dimostrare formalmente il caso della media geoaritmetica. Ho provato a fare qualche conto sul termine generale, ma quello che ottengo èuna schifezza (per altro ricorsiva) con in mezzo una produttoria.
Qualcuno di voi ha delle idee in proposito?
Grazie anticipatamente per la collaborazione.
Per il corso di laboratorio matematico-informatico mi è stata assegnata la seguente traccia da svolgere in ambiente Maple (8):
Dati due num reali a, b strettamente positivi e date due medie m1, m2 (ad es. la media geometrica, la media aritmetica, la media armonica), restano definite due successioni:
a1=m1(a,b), a2=m1(a1,b1), ..., a(n+1)=m1(an,bn)
b1=m1(a,b), b2=m2(a1,b1), ..., b(n+1)=m2(an,bn)
Nel caso della media aritm. e della media geom., an e bn convergono allo stesso valore (dimostrabile "con carta e penna"); date due medie qualsiasi vedere che succede.
Tralasciando in questa sede lo svolgimento "informatico" (per cui ho aperto una discussione nell'apposita area del forum fornendo un soluzione grezza al problema: per qualsiasi media vi è effitivamente convergenza di an e bn ad uno stesso valore), sarei intressato a dimostrare formalmente il caso della media geoaritmetica. Ho provato a fare qualche conto sul termine generale, ma quello che ottengo èuna schifezza (per altro ricorsiva) con in mezzo una produttoria.
Qualcuno di voi ha delle idee in proposito?
Grazie anticipatamente per la collaborazione.
Risposte
Ciao! Interessante questo problema. Così su due piedi non ti so proprio dire. A cosa sembrano convergere le due successioni? Forse a $(sqrt(a)/2+sqrt(b)/2)^2$?
"dissonance":
Ciao! Interessante questo problema. Così su due piedi non ti so proprio dire. A cosa sembrano convergere le due successioni? Forse a $(sqrt(a)/2+sqrt(b)/2)^2$?
Maple mi aiuta con dei risultati approssimati in floating point, quindi non so dirti. Guardando alcuni degli esempi che ho fatto il tuo suggerimento non combacia con il risultato ottenuto (sebbene non si discosti di troppo).
Se dai un occhio in sezioni informatica, trovi la procedura per Maple ed uno degli esempi numerici da cui ho dedotto ("ad occhio", molto poco formalmente
) la convergenza ad uno stesso valore delle due succ (utilizzando risultati precisi anzichè floating point potevo fare poche iterate e comunque veniva fuori una schifezza così schifosa da occupare più videate!).P.S.: leggo che sei anche tu di Bari, dal tuo avatar mi sembra d'averti già visto; è possibile che ti abbia incontrato l'8 feb quando dovevamo fissare entrambi un esame con il prof Altomare?
@dissonance: Non sarei così ottimista, fossi in te.
Che io sappia, una forma chiusa per la media aritmetico-geometrica di [tex]$x$[/tex] ed [tex]$y$[/tex], denotata con [tex]$\text{AGM}(x,y)$[/tex], è qualcosa di complicato che coinvolge le funzioni ellittiche.
Se non leggo male, una forma chiusa è del tipo:
[tex]$\text{AGM}(x,y) =\frac{\pi}{4}\ \frac{x+y}{\text{K}(\frac{x-y}{x+y})}$[/tex],
ove [tex]$\text{K} (\cdot )$[/tex] è l'integrale ellittico completo di prima specie, i.e. la funzione:
[tex]$\text{K} (k) := \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta}}\ \text{d} \theta$[/tex].
Insomma, la cosa è tragica.
Tuttavia, visto che la [tex]$\text{K}(\cdot )$[/tex] gode della seguente rappresentazione in serie:
[tex]$\text{K}(k) = \frac{\pi}{2}\ \sum_{n=0}^{+\infty} \left[ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right]^2\ k^{2n}$[/tex]
(ove si fa la convenzione [tex]$m!!=1$[/tex] se [tex]$m\leq 0$[/tex]), è possibile scrivere l'interessante relazione:
[tex]$\text{AGM} (x,y)\cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \left[ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right]^2 \left( \frac{x-y}{x+y}\right)^{2n} =\text{A}(x,y)$[/tex],
ove evidentemente [tex]$\text{A}(x,y)=\tfrac{x+y}{2}$[/tex] è la media aritmetica di [tex]$x$[/tex] ed [tex]$y$[/tex].
P.S.: In molti mi stanno chiedendo via PM chi è il brutto ceffo che ho in firma...
Che dico?
Che io sappia, una forma chiusa per la media aritmetico-geometrica di [tex]$x$[/tex] ed [tex]$y$[/tex], denotata con [tex]$\text{AGM}(x,y)$[/tex], è qualcosa di complicato che coinvolge le funzioni ellittiche.
Se non leggo male, una forma chiusa è del tipo:
[tex]$\text{AGM}(x,y) =\frac{\pi}{4}\ \frac{x+y}{\text{K}(\frac{x-y}{x+y})}$[/tex],
ove [tex]$\text{K} (\cdot )$[/tex] è l'integrale ellittico completo di prima specie, i.e. la funzione:
[tex]$\text{K} (k) := \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta}}\ \text{d} \theta$[/tex].
Insomma, la cosa è tragica.
Tuttavia, visto che la [tex]$\text{K}(\cdot )$[/tex] gode della seguente rappresentazione in serie:
[tex]$\text{K}(k) = \frac{\pi}{2}\ \sum_{n=0}^{+\infty} \left[ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right]^2\ k^{2n}$[/tex]
(ove si fa la convenzione [tex]$m!!=1$[/tex] se [tex]$m\leq 0$[/tex]), è possibile scrivere l'interessante relazione:
[tex]$\text{AGM} (x,y)\cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \left[ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right]^2 \left( \frac{x-y}{x+y}\right)^{2n} =\text{A}(x,y)$[/tex],
ove evidentemente [tex]$\text{A}(x,y)=\tfrac{x+y}{2}$[/tex] è la media aritmetica di [tex]$x$[/tex] ed [tex]$y$[/tex].
P.S.: In molti mi stanno chiedendo via PM chi è il brutto ceffo che ho in firma...
Che dico?
Mizzica. Pensavo fosse più facile, pensavo... @haterofman: Come Gugo ha capito benissimo, il mio tentativo viene da una convenzione spiegata qui. In sostanza la media aritmetica è una media "di ordine 1", la media geometrica una media "di ordine 0", così ho tirato ad indovinare che quella roba lì convergesse alla media "di ordine 1/2", data appunto da quella formula. Ma evidentemente mi sbagliavo di grosso.
"gugo82":Digli che si facessero i fatti loro sennò il ceffo glielo mandi a casa!
P.S.: In molti mi stanno chiedendo via PM chi è il brutto ceffo che ho in firma...
Che dico?
Mi rendo conto della difficoltà di capire a cosa convergono queste successioni, infatti mi accontento di dimostrare che convergono ad uno stesso valore. Riflettendoci la cosa è anche abbastanza banale (o così sembra):
# Caso media aritmetica-geometrica:
# Dim.:
# a, b € R, a, b>0
# AM : R^2 -> R tale che (a,b) -> (a+b)/2 € [a,b] - la media aritmetica
# GM : R^2 -> R tale che (a,b) -> sqrt(a*b) € [a,b] - la media
# geometrica
# a1 € [a,b], a2 € [a1,b1] c [a,b], ..., a(n+1) € [an,bn] c ... c
# [a1,b1] c [a,b]
# b1 € [a,b], b2 € [a1,b1] c [a,b], ..., b(n+1) € [an,bn] c ... c
# [a1,b1] c [a,b]
# => an, bn succ. limitate, per ogni n € N, n>=1: an € [a,b]
# Per ogni x, y>0: (x+y)/2>=sqrt(x*y) visto che: (sqrt(x)-sqrt(y))^2>=0
# => b1<=a1, b2<=a2, ..., bn<=an, inoltre bn<=a(n+1)<=an per def di
# media
# => per ogni n € N, n>=1: an<=a(n+1), analogamente bn>=b(n+1)
# => an è monotona decrescente, bn è monotona crescente
# => esite L1 € [a,b] t.c. an->L1, esite L2 € [a,b] t.c. bn->L1
# a(n+1)=(an+bn)/2 => L1=(L1+L2)/2 (n->+infinity) => 2L1=L1+L2 => L1=L2
#
# Più in generale, si dimostra:
# - Considerando le medie più note (media armonica, media geometrica,
# media aritmetica, media quadratica, media cubica), si costruisce
# questa catena di disuguaglianze:
# min(a,b)<=HM<=GM<=AM<=QM<=CM<=max(a,b) ("disuguaglianza delle
# medie").
# - Siano Mp(a,b) e Mq(a,b) due medie di potenza, con p
# Pertanto, come nel caso precedente, considerando a due a due le medie
# "notevoli", risulta che an e bn sono monotone e limitate, dunque
# convergenti.
# => L1:=lim an e L2:=lim bn
# Osservo che per ogni x, y>0, una media notevole è una funzione
# continua in (x,y) (in quanto composizione e/o combinazione lineare di
# funzioni continue).
# a(n+1)=M(an,bn) ove M è una media notevole => L1=M(L1,L2)
# (n->+infinity) <=> L1=L2 per def di media
Che ve ne pare?
# Caso media aritmetica-geometrica:
# Dim.:
# a, b € R, a, b>0
# AM : R^2 -> R tale che (a,b) -> (a+b)/2 € [a,b] - la media aritmetica
# GM : R^2 -> R tale che (a,b) -> sqrt(a*b) € [a,b] - la media
# geometrica
# a1 € [a,b], a2 € [a1,b1] c [a,b], ..., a(n+1) € [an,bn] c ... c
# [a1,b1] c [a,b]
# b1 € [a,b], b2 € [a1,b1] c [a,b], ..., b(n+1) € [an,bn] c ... c
# [a1,b1] c [a,b]
# => an, bn succ. limitate, per ogni n € N, n>=1: an € [a,b]
# Per ogni x, y>0: (x+y)/2>=sqrt(x*y) visto che: (sqrt(x)-sqrt(y))^2>=0
# => b1<=a1, b2<=a2, ..., bn<=an, inoltre bn<=a(n+1)<=an per def di
# media
# => per ogni n € N, n>=1: an<=a(n+1), analogamente bn>=b(n+1)
# => an è monotona decrescente, bn è monotona crescente
# => esite L1 € [a,b] t.c. an->L1, esite L2 € [a,b] t.c. bn->L1
# a(n+1)=(an+bn)/2 => L1=(L1+L2)/2 (n->+infinity) => 2L1=L1+L2 => L1=L2
#
# Più in generale, si dimostra:
# - Considerando le medie più note (media armonica, media geometrica,
# media aritmetica, media quadratica, media cubica), si costruisce
# questa catena di disuguaglianze:
# min(a,b)<=HM<=GM<=AM<=QM<=CM<=max(a,b) ("disuguaglianza delle
# medie").
# - Siano Mp(a,b) e Mq(a,b) due medie di potenza, con p
# Pertanto, come nel caso precedente, considerando a due a due le medie
# "notevoli", risulta che an e bn sono monotone e limitate, dunque
# convergenti.
# => L1:=lim an e L2:=lim bn
# Osservo che per ogni x, y>0, una media notevole è una funzione
# continua in (x,y) (in quanto composizione e/o combinazione lineare di
# funzioni continue).
# a(n+1)=M(an,bn) ove M è una media notevole => L1=M(L1,L2)
# (n->+infinity) <=> L1=L2 per def di media
Che ve ne pare?
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