Max/min relativo con hessiano nullo
salve ragazzi,
mi trovo in difficoltà con questo tipo di esercizi, ma bene o male me la sto cavando, però ho provato a prendere questa funzione da una prova di esame \(\displaystyle f(x,y)=x^4y-2x^2y+ \arctan (y) \) e non ne riesco a venire a capo
trovo i punti stazionari imponendo il \(\displaystyle \bigtriangledown f=0 \), ne risulta
\(\displaystyle y(4x^3-4x)=0 \)
\(\displaystyle x^4-2x^2 +\frac{1}{1+y^2}=0 \) ( a sistema ovviamente, ma non so indicarlo in latex)
in questo modo trovo 4 punti \(\displaystyle P1=(0,1), P2=(0,-1), P3=(1,0), P4=(0,-1) \) sperando di non aver commesso errori.
Sviluppando la matrice hessiana mi ri trovo che P1 e P2 sono punti di max relativo(h(f)>0 e f_xx<0), mentre P4 e P5 hanno hessiano nullo.
A questo punto io procederei con lo studio di \(\displaystyle \Delta f \)che risulta essere proprio \(\displaystyle f(x,y) \) per il punto P4
studiando lungo la bisettrice primaria di \(\displaystyle f(x,x)=x^5-2x^3+\arctan(x) \), dato che imporla >0 mi sembra un po troppo difficoltoso ho pensato di studiarne la derivata prima che risulta essere \(\displaystyle f'(x,x)=5x^4-6x^2+\frac{1}{1+x^2} \), imponendola >0 e facendo il mcm mi ritrovo con un sistemino
\(\displaystyle 5x^4(1+x^2)-6x^2(1+x^2)+1>0 \)
\(\displaystyle 1+x^2>0 \)
mentre per la seconda equazione x è sempre >-1 per la seconda non ne riesco a venire a capo, ne raccogliendo ne con ruffini
ce con sostituzione t=x^2
qualcuno ha qualche idea, qualche altro metodo e sopratutto un buon libro su potermi esercitare(attualmnente uso il marcellini sbordone ma francamente non mi trovo benissimo su questo tipo di esercizi)
mi trovo in difficoltà con questo tipo di esercizi, ma bene o male me la sto cavando, però ho provato a prendere questa funzione da una prova di esame \(\displaystyle f(x,y)=x^4y-2x^2y+ \arctan (y) \) e non ne riesco a venire a capo
trovo i punti stazionari imponendo il \(\displaystyle \bigtriangledown f=0 \), ne risulta
\(\displaystyle y(4x^3-4x)=0 \)
\(\displaystyle x^4-2x^2 +\frac{1}{1+y^2}=0 \) ( a sistema ovviamente, ma non so indicarlo in latex)
in questo modo trovo 4 punti \(\displaystyle P1=(0,1), P2=(0,-1), P3=(1,0), P4=(0,-1) \) sperando di non aver commesso errori.
Sviluppando la matrice hessiana mi ri trovo che P1 e P2 sono punti di max relativo(h(f)>0 e f_xx<0), mentre P4 e P5 hanno hessiano nullo.
A questo punto io procederei con lo studio di \(\displaystyle \Delta f \)che risulta essere proprio \(\displaystyle f(x,y) \) per il punto P4
studiando lungo la bisettrice primaria di \(\displaystyle f(x,x)=x^5-2x^3+\arctan(x) \), dato che imporla >0 mi sembra un po troppo difficoltoso ho pensato di studiarne la derivata prima che risulta essere \(\displaystyle f'(x,x)=5x^4-6x^2+\frac{1}{1+x^2} \), imponendola >0 e facendo il mcm mi ritrovo con un sistemino
\(\displaystyle 5x^4(1+x^2)-6x^2(1+x^2)+1>0 \)
\(\displaystyle 1+x^2>0 \)
mentre per la seconda equazione x è sempre >-1 per la seconda non ne riesco a venire a capo, ne raccogliendo ne con ruffini
ce con sostituzione t=x^2
qualcuno ha qualche idea, qualche altro metodo e sopratutto un buon libro su potermi esercitare(attualmnente uso il marcellini sbordone ma francamente non mi trovo benissimo su questo tipo di esercizi)
Risposte
ciao Tem e grazie mille della risposta, era molto più semplice di come la stavo facendo io solo un paio di domande
ad esempio nella determinazione dei puunti non c'era da imporre anche x=0 e y=0 nella prima equazione? mi sa he questo punto non mi è particolarmente chiaro ma vedrò di rimediare
Un'altra domanda è come avrei dovuto procedere se avessi voluto studiare la funzione con lo studio del segno? imponendo semplicemente la funzione >0? lo chiedo perchè leggendo il programma ho scpoerto essere l'unico metodo trattato dalla mia profesoressa
ad esempio nella determinazione dei puunti non c'era da imporre anche x=0 e y=0 nella prima equazione? mi sa he questo punto non mi è particolarmente chiaro ma vedrò di rimediare
Un'altra domanda è come avrei dovuto procedere se avessi voluto studiare la funzione con lo studio del segno? imponendo semplicemente la funzione >0? lo chiedo perchè leggendo il programma ho scpoerto essere l'unico metodo trattato dalla mia profesoressa
grazie mille ancora tem 
purtroppo mi sto avvicinando solo ora a questo tipo di sistemi,
cercando tra i messaggi effettivamente non sono l'unico ad aver chiesto informazioni su questo tipo di esercizi, mi baserò un po anche su gli esercizi diciamo "svolti" sul forum
scusami ancora tem per il disturbo, ma un'altra cosa ancora, perchè se abbiamo un flesso allora P(1,0) è una sella?
e per vedere se ho capito vermanete bene dire f(1,t) è come dire mi metto in 1(cioè ho fissato x, scelto 1 per farlo passare nel punto) e vedo che succede al variare di t ma graficamente corrisponde ad una retta fatta tipo cosi ?
purtroppo mi sto avvicinando solo ora a questo tipo di sistemi,
cercando tra i messaggi effettivamente non sono l'unico ad aver chiesto informazioni su questo tipo di esercizi, mi baserò un po anche su gli esercizi diciamo "svolti" sul forum
scusami ancora tem per il disturbo, ma un'altra cosa ancora, perchè se abbiamo un flesso allora P(1,0) è una sella?
e per vedere se ho capito vermanete bene dire f(1,t) è come dire mi metto in 1(cioè ho fissato x, scelto 1 per farlo passare nel punto) e vedo che succede al variare di t ma graficamente corrisponde ad una retta fatta tipo cosi ?
credimi sono rimasto sbalordito, veramente non so come ringraziarti e ad immagini è tutto più chiaro (o almeno spero)
allora vediamo, hai fissato x diciamo e vado a vedere cosa succede al variare di y alla funzione f(1,y) che indica sempre una "quota" diciamo
se il punto ijndagato mi da minimo ad esempio per le varie situazioni che vado a studiare (o max) comunque non concludo niente perchè dovrei analizzare il comportamento per tutte le restrizioni possibili
mentre se per due direzioni diverse trovo un max e min ho una sella, oppure analizzando una sola restrizione in cui il punto in questione risulti un flesso allora anche qui ho una sella. Corretto?
allora vediamo, hai fissato x diciamo e vado a vedere cosa succede al variare di y alla funzione f(1,y) che indica sempre una "quota" diciamo
se il punto ijndagato mi da minimo ad esempio per le varie situazioni che vado a studiare (o max) comunque non concludo niente perchè dovrei analizzare il comportamento per tutte le restrizioni possibili
mentre se per due direzioni diverse trovo un max e min ho una sella, oppure analizzando una sola restrizione in cui il punto in questione risulti un flesso allora anche qui ho una sella. Corretto?
Credo finalmente di aver inteso per bene, il piano a cui ti riferisci è perpendicolare al piano base (cioè(x,y)) e l'intersezione tra tale piano e il grafico produce una certa curva che corrisponde proprio alla funzione che mi esce dalla restrizione che ho effettuato. Spero di aver capito per bene( scusami se mi sono spiegato un po' grezzamente)
grazie mille ancora (e scusa se te l'ho detto 10 volte XD)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo