Max,Min e Sella in funzioni a 2 variabili
Ciao a tutti, sto riscontrando delle difficoltà nel calcolo dei punti di minimo\massimo\sella di una funzione a 2 variabili e nonostante abbia fatto un'approfondita ricerca sul web non ho trovato una spiegazione semplice ed esaustiva.
Ecco come procedo.
1. Calcolo le derivate prime e seconde della funzione così da farmi un quadro pronto all'uso
2. Pongo il gradiente uguale a zero dunque esce fuori il sistema con i punti critici
3. Calcolo la matrice Hessiana e sviluppo il determinante di H(puntocritico)-lambda In come avviene negli esercizi disposti in questo sito. A questo punto trovo i risultati di lambda per ogni punto critico e quindi massimi, minimi e punti sella.
Il problema si verifica quando l'hessiana viene annullata quindi nei vostri esercizi si parla di studio di funzione per capire come definire quel particolare punto critico in questione.
Ma qui mi perdo
Per studio di funzione immagino si intende lo studio del segno dell'immagine. Con la funzione ad una variabile era semplice perchè era in 2d ma qui la cosa si complica e non ci capisco niente. Mi spiegate come si procede? Vi prego di essere chiari e semplici perchè mi sto approcciando da poco a questa materia quindi ho lacune di base. Grazie
Ecco come procedo.
1. Calcolo le derivate prime e seconde della funzione così da farmi un quadro pronto all'uso
2. Pongo il gradiente uguale a zero dunque esce fuori il sistema con i punti critici
3. Calcolo la matrice Hessiana e sviluppo il determinante di H(puntocritico)-lambda In come avviene negli esercizi disposti in questo sito. A questo punto trovo i risultati di lambda per ogni punto critico e quindi massimi, minimi e punti sella.
Il problema si verifica quando l'hessiana viene annullata quindi nei vostri esercizi si parla di studio di funzione per capire come definire quel particolare punto critico in questione.
Ma qui mi perdo
Per studio di funzione immagino si intende lo studio del segno dell'immagine. Con la funzione ad una variabile era semplice perchè era in 2d
ma qui la cosa si complica e non ci capisco niente. Mi spiegate come si procede? Vi prego di essere chiari e semplici perchè mi sto approcciando da poco a questa materia quindi ho lacune di base. Grazie
Risposte
Ciao,
ci possono essere varie strade che si posso percorrere...
Per esempio, nel momento in cui, in un punto critico, la matrice Hessiana si annulla, puoi procedere studiandoti gli autovalori, a questo punto ti puoi trovare difronte ad una delle due possibili situazioni:
- la matrice è semidefinita positiva = allora il punto potrebbe essere di minimo, oppure ne di minimo ne di massimo, comunque sicuramente non è di massimo.
- la matrice è semidefinita negativa = allora il punto potrebbe essere di massimo, oppure ne di minimo ne di massimo, comunque sicuramente non è di minimo.
Ipotiziamo di trovarci nel primo caso, ossia hessiano semidefinito positivo, sappiamo allora per certo che il punto non è di massimo, ma dobbiamo comunque verificare che sia di minimo....per far ciò si studia se in un intorno del punto critico in questione la matrice mantiene il segno, cioè rimane semidefinita positiva, se si verifica ciò allora il punto è sicuramente di minimo....se invece nell'intorno del punto la matrice passa da semidefinita positiva a semidefinita negativa, allora il punto deve essere di flesso o di sella, per verificare questo restringi la funzione lungo rette passante per il punto...se trovi che lungo una direzione fissata la funzione cambia concavità allora è sicuramente un flesso, se invece si ha una concavità positiva ed una negativa lungo due direzioni diverse, ma passanti sempre per il punto critico, allora è un punto di sella.
Purtroppo a parole non sempre si rende l'idea, gli esempi "parlano" più chiaro...spero comunque ti sia di aiuto!
ci possono essere varie strade che si posso percorrere...
Per esempio, nel momento in cui, in un punto critico, la matrice Hessiana si annulla, puoi procedere studiandoti gli autovalori, a questo punto ti puoi trovare difronte ad una delle due possibili situazioni:
- la matrice è semidefinita positiva = allora il punto potrebbe essere di minimo, oppure ne di minimo ne di massimo, comunque sicuramente non è di massimo.
- la matrice è semidefinita negativa = allora il punto potrebbe essere di massimo, oppure ne di minimo ne di massimo, comunque sicuramente non è di minimo.
Ipotiziamo di trovarci nel primo caso, ossia hessiano semidefinito positivo, sappiamo allora per certo che il punto non è di massimo, ma dobbiamo comunque verificare che sia di minimo....per far ciò si studia se in un intorno del punto critico in questione la matrice mantiene il segno, cioè rimane semidefinita positiva, se si verifica ciò allora il punto è sicuramente di minimo....se invece nell'intorno del punto la matrice passa da semidefinita positiva a semidefinita negativa, allora il punto deve essere di flesso o di sella, per verificare questo restringi la funzione lungo rette passante per il punto...se trovi che lungo una direzione fissata la funzione cambia concavità allora è sicuramente un flesso, se invece si ha una concavità positiva ed una negativa lungo due direzioni diverse, ma passanti sempre per il punto critico, allora è un punto di sella.
Purtroppo a parole non sempre si rende l'idea, gli esempi "parlano" più chiaro...spero comunque ti sia di aiuto!
"Alexp":
Ciao,
ci possono essere varie strade che si posso percorrere...
Per esempio, nel momento in cui, in un punto critico, la matrice Hessiana si annulla, puoi procedere studiandoti gli autovalori, a questo punto ti puoi trovare difronte ad una delle due possibili situazioni:
- la matrice è semidefinita positiva = allora il punto potrebbe essere di minimo, oppure ne di minimo ne di massimo, comunque sicuramente non è di massimo.
- la matrice è semidefinita negativa = allora il punto potrebbe essere di massimo, oppure ne di minimo ne di massimo, comunque sicuramente non è di minimo.
Ipotiziamo di trovarci nel primo caso, ossia hessiano semidefinito positivo, sappiamo allora per certo che il punto non è di massimo, ma dobbiamo comunque verificare che sia di minimo....per far ciò si studia se in un intorno del punto critico in questione la matrice mantiene il segno, cioè rimane semidefinita positiva, se si verifica ciò allora il punto è sicuramente di minimo....se invece nell'intorno del punto la matrice passa da semidefinita positiva a semidefinita negativa, allora il punto deve essere di flesso o di sella, per verificare questo restringi la funzione lungo rette passante per il punto...se trovi che lungo una direzione fissata la funzione cambia concavità allora è sicuramente un flesso, se invece si ha una concavità positiva ed una negativa lungo due direzioni diverse, ma passanti sempre per il punto critico, allora è un punto di sella.
Purtroppo a parole non sempre si rende l'idea, gli esempi "parlano" più chiaro...spero comunque ti sia di aiuto!
e io proprio così faccio sempre.. procedo con gli autovalori. ma mi stai persino dicendo che in base al risultato di lambda non sono posso affermare ancora se è massimo o minimo.. uff
ma non c'è una soluzione più rapida e semplice?
Che sappia io purtroppo no....
il fatto di conoscere gli autovalori, nel caso di hessiano semidefinito, ti assicura che il punto è un punto parabolico, ossia a curvatura nulla, questo perchè se noi calcoliamo la derivata seconda, tramite la proprietà degli autovalori ed autovettori, si dimostrerà semplicemente che essa ammetterà un valore compreso uguale tra zero (l'autovalore nullo) e il valore dell'autovalore diverso da zero...ma dire che lungo una direzione la derivata seconda è nulla, significa che lungo quella direzione la nostra funzione ha un contatto almeno del secondo ordine con lo spazio tg, questo è sufficiente a far intuire che quindi la curvatura lungo quella direzione sarà nulla, mentre lungo altre direzioni avrà valore compreso uguale tra zero e il valore dell'altro autovalore...quindi nel punto si avrà curvatura gaussiana nulla e perciò il punto è parabolico (o planare).
Ciò però non toglie che lungo la direzione di maggior contatto con lo spazio tg, la nostra funzione, allontanandosi dal punto in questione, possa cambiare concavità o avere concavità opposta rispetto le altre direzioni e quindi non essere un punto di massimo o minimo ( a seconda di come era semidefinita), ma un punto di flesso o di sella.....se poi volessimo essere fiscali, il termine "sella" in questi casi è improprio, perchè in geometria differenziale una "sella" è un punto stazionario iperbolico, mentre nel nostro caso essendo l'Hessiano nullo, il punto è parabolico (o planare), quindi il termine corretto non sarebbe "sella", ma punto stazionario planare......anche se poi in analisi, il termine "sella" lo si utilizza impropriamente molto spesso comunque.
Tornando a noi, come hai visto conoscere gli autovalori nel caso di Hessiano semidefinito non è sufficiente, bisogna studiarli in un intorno del punto.....
Ciao
il fatto di conoscere gli autovalori, nel caso di hessiano semidefinito, ti assicura che il punto è un punto parabolico, ossia a curvatura nulla, questo perchè se noi calcoliamo la derivata seconda, tramite la proprietà degli autovalori ed autovettori, si dimostrerà semplicemente che essa ammetterà un valore compreso uguale tra zero (l'autovalore nullo) e il valore dell'autovalore diverso da zero...ma dire che lungo una direzione la derivata seconda è nulla, significa che lungo quella direzione la nostra funzione ha un contatto almeno del secondo ordine con lo spazio tg, questo è sufficiente a far intuire che quindi la curvatura lungo quella direzione sarà nulla, mentre lungo altre direzioni avrà valore compreso uguale tra zero e il valore dell'altro autovalore...quindi nel punto si avrà curvatura gaussiana nulla e perciò il punto è parabolico (o planare).
Ciò però non toglie che lungo la direzione di maggior contatto con lo spazio tg, la nostra funzione, allontanandosi dal punto in questione, possa cambiare concavità o avere concavità opposta rispetto le altre direzioni e quindi non essere un punto di massimo o minimo ( a seconda di come era semidefinita), ma un punto di flesso o di sella.....se poi volessimo essere fiscali, il termine "sella" in questi casi è improprio, perchè in geometria differenziale una "sella" è un punto stazionario iperbolico, mentre nel nostro caso essendo l'Hessiano nullo, il punto è parabolico (o planare), quindi il termine corretto non sarebbe "sella", ma punto stazionario planare......anche se poi in analisi, il termine "sella" lo si utilizza impropriamente molto spesso comunque.
Tornando a noi, come hai visto conoscere gli autovalori nel caso di Hessiano semidefinito non è sufficiente, bisogna studiarli in un intorno del punto.....
Ciao
Capisco.. guardando gli appunti dei miei colleghi ho potuto constatare che il prof utilizza un metodo differente e approfondendolo mi è sembrato più semplice ma rimangono dubbi.
In pratica in uno schema tra gli appunti ho trovato:
----Minimo Relativo----
Hf>0
Fxx(x,y)>0
Fx(x0,y0)=Fy(x0,y0)=0
----Massimo Relativo---
Hf>0
Fxx(x,y)<0
Fx(x0,y0)=Fy(x0,y0)=0
----Punto Sella---
Hf<0
----Punto Critico----
gradienteF(x,y)=0
Detto questo lei procede ogni esercizio calcolando direttamente il determinante hessiano. Penso che da qui stabilisce se tutti i critici sono max, min o sella. Poi si dovrebbero andare a calcolare i critici credo (ponendo il gradiente=0). Nel caso il cui il determinante hessiano non è maggiore o minore (è variabile) allora bisognerà vedere per ogni punto critico qual'è il determinante generato (basterà prendere il determinante in funzione di x e y trovato precedentemente e sostituire x0, y0). Questo ragionamento è giusto? Dagli esercizi svolti dalla mia collega sembra di si, ma il problema si pone quando testo alcuni critici sul determinante e risultano 0.. in questo caso che vuol dire? che si fa?
In pratica in uno schema tra gli appunti ho trovato:
----Minimo Relativo----
Hf>0
Fxx(x,y)>0
Fx(x0,y0)=Fy(x0,y0)=0
----Massimo Relativo---
Hf>0
Fxx(x,y)<0
Fx(x0,y0)=Fy(x0,y0)=0
----Punto Sella---
Hf<0
----Punto Critico----
gradienteF(x,y)=0
Detto questo lei procede ogni esercizio calcolando direttamente il determinante hessiano. Penso che da qui stabilisce se tutti i critici sono max, min o sella. Poi si dovrebbero andare a calcolare i critici credo (ponendo il gradiente=0). Nel caso il cui il determinante hessiano non è maggiore o minore (è variabile) allora bisognerà vedere per ogni punto critico qual'è il determinante generato (basterà prendere il determinante in funzione di x e y trovato precedentemente e sostituire x0, y0). Questo ragionamento è giusto? Dagli esercizi svolti dalla mia collega sembra di si, ma il problema si pone quando testo alcuni critici sul determinante e risultano 0.. in questo caso che vuol dire? che si fa?
Scusa, ma non ho capito come procedi....
Lo schema è:
-Det Hessiano$>0$ con traccia positiva, allora il punto critico è di minimo relativo.
-Det Hessiano$>0$ con traccia negativa, allora il punto critico è di massimo relativo.
-Det Hessiano$<0$, allora il punto critico è di sella.
-Det Hessiano$=0$ non si può dire nulla sulla natura del punto critico.
Quindi in quest'ultimo caso bisogna analizzare gli autovalori:
- l'Hessiano è semidefinito positivo, allora il punto potrebbe essere di minimo, oppure ne di minimo ne di massimo, comunque sicuramente non è di massimo.
- l'Hessiano è semidefinito negativo, allora il punto potrebbe essere di massimo, oppure ne di minimo ne di massimo, comunque sicuramente non è di minimo.
Ma nei casi in cui la matrice è semidefinita devi studiarti gli autovalori nell'intorno del punto critico....
Questo è il metodo che conosco.
Lo schema è:
-Det Hessiano$>0$ con traccia positiva, allora il punto critico è di minimo relativo.
-Det Hessiano$>0$ con traccia negativa, allora il punto critico è di massimo relativo.
-Det Hessiano$<0$, allora il punto critico è di sella.
-Det Hessiano$=0$ non si può dire nulla sulla natura del punto critico.
Quindi in quest'ultimo caso bisogna analizzare gli autovalori:
- l'Hessiano è semidefinito positivo, allora il punto potrebbe essere di minimo, oppure ne di minimo ne di massimo, comunque sicuramente non è di massimo.
- l'Hessiano è semidefinito negativo, allora il punto potrebbe essere di massimo, oppure ne di minimo ne di massimo, comunque sicuramente non è di minimo.
Ma nei casi in cui la matrice è semidefinita devi studiarti gli autovalori nell'intorno del punto critico....
Questo è il metodo che conosco.
"Alexp":
Scusa, ma non ho capito come procedi....
Lo schema è:
-Det Hessiano$>0$ con traccia positiva, allora il punto critico è di minimo relativo.
-Det Hessiano$>0$ con traccia negativa, allora il punto critico è di massimo relativo.
-Det Hessiano$<0$, allora il punto critico è di sella.
-Det Hessiano$=0$ non si può dire nulla sulla natura del punto critico.
Fino a qua ci siamo.
Il mio problema è nell'ultimo caso.. dovrei capire bene cosa si fa quando det=0
"Alexp":
Quindi in quest'ultimo caso bisogna analizzare gli autovalori:
- l'Hessiano è semidefinito positivo, allora il punto potrebbe essere di minimo, oppure ne di minimo ne di massimo, comunque sicuramente non è di massimo.
- l'Hessiano è semidefinito negativo, allora il punto potrebbe essere di massimo, oppure ne di minimo ne di massimo, comunque sicuramente non è di minimo.
Ma nei casi in cui la matrice è semidefinita devi studiarti gli autovalori nell'intorno del punto critico....
Questo è il metodo che conosco.
Questo devi spiegarmelo tipo bambino di scuola elementare
Io faccio la matrice H-lambdaI2 e dal determinante ottengo un'equazione con incognita lambda. (H è la matrice hessiana con i valori x0 e y0 del punto critico che dava det=0, I2 è la matrice identità 2x2).
Anche qui potrei ottenere lamba maggiore, minore o uguale a zero (le soluzioni dell'equazione con incognita lambda). Se è maggiore dici che sicuramente non è massimo.. ma cos'è? come lo studio? stesso discorso se non è minore.. e infine.. se è 0? è un casino mamma mia
Ok, ti studi l'equazione caratteristica e trovi i valori di $\lambda$ (nel caso di una superficie si avranno due valori di $\lambda$), se l'Hessiano è $=0$ allora $\lambda_1=0$, mentre $\lambda_2$ sarà $>0$ o $<0$.....
ipotiziamo il caso in cui l'Hessiano sia semidefinito positivo, significa che $\lambda_1=0$ e $\lambda_2>0$...quindi sicuramente non si avrà un massimo.....
ora però bisogna studiare come i valori di $\lambda_1$ e $\lambda_2$ cambiano nell'intorno di $p_0$...per fare questo devi riprendere in mano le due equazioni che determinano i due valori di $\lambda$ e verificare cosa succede per il $lim_(p\rightarrowp_0)$.
Facciamo un esempio banale per renderti meglio l'idea...
$z=x^2+y^4$, il gradiente si annullerà in $p=(0,0)$, la sua matrice hessiana sarà:
$|(2, 0), (0, 12y^2)|$ che in $(0,0)$ sarà $|(2, 0), (0, 0)|$ e avrà determinante nullo...
A questo punto ci troviamo l'equazione caratteristica che sarà:
$24y^2-2\lambda-12\lambday^2+\lambda^2=0$
ossia:
$\lambda^2-\lambda(2+12y^2)+24y^2=0$
a questo punto le due equazioni che forniscono i valori di $\lambda$ saranno:
$\lambda_1=(2+12y^2-sqrt(4+144y^4-72y^2))/2$ e $\lambda_2=(2+12y^2+sqrt(4+144y^4-72y^2))/2$
e nel punto $(0,0)$ darà $\lambda_1=0$ e $\lambda_2=2$, quindi la matrice hessiana è semidefinita positiva, quindi con certezza $p_0$ non sarà di massimo.
ora, però, dobbiamo studiare come queste due equazioni si comportano in un intorno $I$ che tende a $p_0$, quindi:
$lim_(y\rightarrow0)(2+12y^2-sqrt(4+144y^4-72y^2))/2$
e
$lim_(y\rightarrow0)(2+12y^2+sqrt(4+144y^4-72y^2))/2$
la prima darà $(2-sqrt(4^-))/2=0^+/2=0^+$ dunque il valore di $\lambda_1$ allontanandosi da $(0,0)$ tende a diventare positivo.
la seconda darà $(2+sqrt(4^-))/2=4^-/2=2^-$ che è positivo.
A questo punto possiamo dire che allontanandosi da $(0,0)$ il det Hessiano cambia diventando $>0$ perciò il punto critico $p_0(0,0)$ è sicuramente un punto di minimo relativo.
Ti è più chiaro?
ipotiziamo il caso in cui l'Hessiano sia semidefinito positivo, significa che $\lambda_1=0$ e $\lambda_2>0$...quindi sicuramente non si avrà un massimo.....
ora però bisogna studiare come i valori di $\lambda_1$ e $\lambda_2$ cambiano nell'intorno di $p_0$...per fare questo devi riprendere in mano le due equazioni che determinano i due valori di $\lambda$ e verificare cosa succede per il $lim_(p\rightarrowp_0)$.
Facciamo un esempio banale per renderti meglio l'idea...
$z=x^2+y^4$, il gradiente si annullerà in $p=(0,0)$, la sua matrice hessiana sarà:
$|(2, 0), (0, 12y^2)|$ che in $(0,0)$ sarà $|(2, 0), (0, 0)|$ e avrà determinante nullo...
A questo punto ci troviamo l'equazione caratteristica che sarà:
$24y^2-2\lambda-12\lambday^2+\lambda^2=0$
ossia:
$\lambda^2-\lambda(2+12y^2)+24y^2=0$
a questo punto le due equazioni che forniscono i valori di $\lambda$ saranno:
$\lambda_1=(2+12y^2-sqrt(4+144y^4-72y^2))/2$ e $\lambda_2=(2+12y^2+sqrt(4+144y^4-72y^2))/2$
e nel punto $(0,0)$ darà $\lambda_1=0$ e $\lambda_2=2$, quindi la matrice hessiana è semidefinita positiva, quindi con certezza $p_0$ non sarà di massimo.
ora, però, dobbiamo studiare come queste due equazioni si comportano in un intorno $I$ che tende a $p_0$, quindi:
$lim_(y\rightarrow0)(2+12y^2-sqrt(4+144y^4-72y^2))/2$
e
$lim_(y\rightarrow0)(2+12y^2+sqrt(4+144y^4-72y^2))/2$
la prima darà $(2-sqrt(4^-))/2=0^+/2=0^+$ dunque il valore di $\lambda_1$ allontanandosi da $(0,0)$ tende a diventare positivo.
la seconda darà $(2+sqrt(4^-))/2=4^-/2=2^-$ che è positivo.
A questo punto possiamo dire che allontanandosi da $(0,0)$ il det Hessiano cambia diventando $>0$ perciò il punto critico $p_0(0,0)$ è sicuramente un punto di minimo relativo.
Ti è più chiaro?
sei stato molto chiaro. se ho dubbi ti faccio sapere
Grazie mille!!!
Grazie mille!!!
"Alexp":
Ok, ti studi l'equazione caratteristica e trovi i valori di $\lambda$ (nel caso di una superficie si avranno due valori di $\lambda$), se l'Hessiano è $=0$ allora $\lambda_1=0$, mentre $\lambda_2$ sarà $>0$ o $<0$.....
ipotiziamo il caso in cui l'Hessiano sia semidefinito positivo, significa che $\lambda_1=0$ e $\lambda_2>0$...quindi sicuramente non si avrà un massimo.....
ora però bisogna studiare come i valori di $\lambda_1$ e $\lambda_2$ cambiano nell'intorno di $p_0$...per fare questo devi riprendere in mano le due equazioni che determinano i due valori di $\lambda$ e verificare cosa succede per il $lim_(p\rightarrowp_0)$.
Facciamo un esempio banale per renderti meglio l'idea...
$z=x^2+y^4$, il gradiente si annullerà in $p=(0,0)$, la sua matrice hessiana sarà:
$|(2, 0), (0, 12y^2)|$ che in $(0,0)$ sarà $|(2, 0), (0, 0)|$ e avrà determinante nullo...
A questo punto ci troviamo l'equazione caratteristica che sarà:
$24y^2-2\lambda-12\lambday^2+\lambda^2=0$
ossia:
$\lambda^2-\lambda(2+12y^2)+24y^2=0$
a questo punto le due equazioni che forniscono i valori di $\lambda$ saranno:
$\lambda_1=(2+12y^2-sqrt(4+144y^4-72y^2))/2$ e $\lambda_2=(2+12y^2+sqrt(4+144y^4-72y^2))/2$
e nel punto $(0,0)$ darà $\lambda_1=0$ e $\lambda_2=2$, quindi la matrice hessiana è semidefinita positiva, quindi con certezza $p_0$ non sarà di massimo.
ora, però, dobbiamo studiare come queste due equazioni si comportano in un intorno $I$ che tende a $p_0$, quindi:
$lim_(y\rightarrow0)(2+12y^2-sqrt(4+144y^4-72y^2))/2$
e
$lim_(y\rightarrow0)(2+12y^2+sqrt(4+144y^4-72y^2))/2$
la prima darà $(2-sqrt(4^-))/2=0^+/2=0^+$ dunque il valore di $\lambda_1$ allontanandosi da $(0,0)$ tende a diventare positivo.
la seconda darà $(2+sqrt(4^-))/2=4^-/2=2^-$ che è positivo.
A questo punto possiamo dire che allontanandosi da $(0,0)$ il det Hessiano cambia diventando $>0$ perciò il punto critico $p_0(0,0)$ è sicuramente un punto di minimo relativo.
Ti è più chiaro?
non riesco a capire la parte in grassetto nero, qualcuno potrebbe spiegarmelo? grazie
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