Max/min assoluti nell'insieme dato
$f(x,y)=x+y$
$D = [(x,y) | (x,y) in R^2, x^2+y^2=1] $
Data questa funzione e questo insieme, devo trovare i massimi e minimi assoluti.
Innanzitutto vedo che l'insieme è una circonferenza, in particolare tutti i punti del bordo.
Procedo quindi alla ricerca dei punti critici su tale zona del piano, in particolare ponendo:
$x^2 = 1-y^2 -> x= +- sqrt(1-y^2)$
e cercando quindi punti critici per i due valori di x, cioè:
1) $x= + sqrt(1-y^2)$
$f(+ sqrt(1-y^2),y) = sqrt(1-y^2) + y$
$f'(+ sqrt(1-y^2),y) >=0$
cioè
$f'(+ sqrt(1-y^2),y) = (sqrt(1-y^2)-y)/(sqrt(1-y^2))>=0$
2) $x= - sqrt(1-y^2)$
e quindi
$f'(- sqrt(1-y^2),y) = (sqrt(1-y^2)+y)/(sqrt(1-y^2))>=0$
A questo punto risolvo entrambe le disequazioni, ne studio il segno e riporto i segni sul mio grafico finale:
la $x= + sqrt(1-y^2)$ è la semicirconferenza del primo e quarto quadrante, la $x= - sqrt(1-y^2)$ la semicirconferenza del secondo e terzo.
Trovo che:
- per $x<-1$, per $ -1/(sqrt(2)) < x < 0$ e per $1/(sqrt(2))negativa
- per $-11$ la funzione è positiva
Visto che sto cercando max e min solo sul 'bordo' di questa circonferenza, considero solo i punti:
$P_1(1,0), P_2(-1,0), P_3(0,1), P_4(0,-1)$ che sembrerebbero essere tutti di sella (se traccio una palla aperta centrata in tali punti, essa conterrà sia valori positivi che negativi).
Il mio ragionamento è giusto o no?
Perchè per il teorema di Weiestrass mi verrebbe da sostituire le coordinate di ogni punto nella funzione e trovare max e min assoluti come i punti dal valore rispettivamente più alto e più basso: ma tale teorema, se non sbaglio, vale solo per intervalli chiusi e limitati!
$D = [(x,y) | (x,y) in R^2, x^2+y^2=1] $
Data questa funzione e questo insieme, devo trovare i massimi e minimi assoluti.
Innanzitutto vedo che l'insieme è una circonferenza, in particolare tutti i punti del bordo.
Procedo quindi alla ricerca dei punti critici su tale zona del piano, in particolare ponendo:
$x^2 = 1-y^2 -> x= +- sqrt(1-y^2)$
e cercando quindi punti critici per i due valori di x, cioè:
1) $x= + sqrt(1-y^2)$
$f(+ sqrt(1-y^2),y) = sqrt(1-y^2) + y$
$f'(+ sqrt(1-y^2),y) >=0$
cioè
$f'(+ sqrt(1-y^2),y) = (sqrt(1-y^2)-y)/(sqrt(1-y^2))>=0$
2) $x= - sqrt(1-y^2)$
e quindi
$f'(- sqrt(1-y^2),y) = (sqrt(1-y^2)+y)/(sqrt(1-y^2))>=0$
A questo punto risolvo entrambe le disequazioni, ne studio il segno e riporto i segni sul mio grafico finale:
la $x= + sqrt(1-y^2)$ è la semicirconferenza del primo e quarto quadrante, la $x= - sqrt(1-y^2)$ la semicirconferenza del secondo e terzo.
Trovo che:
- per $x<-1$, per $ -1/(sqrt(2)) < x < 0$ e per $1/(sqrt(2))
- per $-1
Visto che sto cercando max e min solo sul 'bordo' di questa circonferenza, considero solo i punti:
$P_1(1,0), P_2(-1,0), P_3(0,1), P_4(0,-1)$ che sembrerebbero essere tutti di sella (se traccio una palla aperta centrata in tali punti, essa conterrà sia valori positivi che negativi).
Il mio ragionamento è giusto o no?
Perchè per il teorema di Weiestrass mi verrebbe da sostituire le coordinate di ogni punto nella funzione e trovare max e min assoluti come i punti dal valore rispettivamente più alto e più basso: ma tale teorema, se non sbaglio, vale solo per intervalli chiusi e limitati!
Risposte
Purtroppo lo svolgimento presenta numerose imprecisioni, inoltre la strategia risolutiva che hai scelto comporta troppi calcoli, sebbene sia concettualmente corretta.
Partiamo dalle basi: dobbiamo determinare i massimi e i minimi assoluti della funzione
$f(x,y)=x+y$
sull'insieme $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2=1\}$.
Prima di buttarsi a capofitto nei calcoli, bisogna analizzare le caratteristiche dell'insieme $D$ (è un insieme chiuso? Perché? È un insieme limitato? Perché?) e verificare che $f(x,y)$ sia continua in $D$. Se $D$ è un insieme chiuso e limitato e $f(x,y)$ continua su $D$, il teorema di Weierstrass garantisce l'esistenza dei massimi e dei minimi assoluti di $f(x,y)$ su $D$.
A questo punto, conviene notare che l'equazione che definisce $D$ può essere espressa nella forma $g(x,y)=0$ dove $g(x,y)=x^2+y^2-1$... e da qui in poi è fatta! Qual è il metodo che conviene utilizzare in questi casi?
Note sulla tua soluzione.
La posizione $x^2=1-y^2\to x=\pm\sqrt{1-y^2}$ è del tutto legittima, così come è legittimo studiare $f(x,y)$ sulle due restrizioni che hai scelto.
A occhio, sono corrette sia le sostituzioni sia le derivate (non fidarti, tu controllale di nuovo se necessario). I problemi iniziano proprio nel momento in cui trai le conclusioni: hai perso di vista quello che stavi facendo?
Ti faccio notare che nel momento in cui usi le relazioni $x=-\sqrt{1-y^2}$ e $x=\sqrt{1-y^2}$, passi da una funzione di due variabili $f(x,y)$ a una funzione $\tilde{f}(y)$ della sola variabile $y$. Una volta trovati gli eventuali massimi e minimi in termini di $y$, ricavi i valori di $x$.
Alla fine, una volta determinati tutti i candidati punti di massimo e di minimo procedi con il confronto delle loro immagini mediante $f(x,y)$.
Partiamo dalle basi: dobbiamo determinare i massimi e i minimi assoluti della funzione
$f(x,y)=x+y$
sull'insieme $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2=1\}$.
Prima di buttarsi a capofitto nei calcoli, bisogna analizzare le caratteristiche dell'insieme $D$ (è un insieme chiuso? Perché? È un insieme limitato? Perché?) e verificare che $f(x,y)$ sia continua in $D$. Se $D$ è un insieme chiuso e limitato e $f(x,y)$ continua su $D$, il teorema di Weierstrass garantisce l'esistenza dei massimi e dei minimi assoluti di $f(x,y)$ su $D$.
A questo punto, conviene notare che l'equazione che definisce $D$ può essere espressa nella forma $g(x,y)=0$ dove $g(x,y)=x^2+y^2-1$... e da qui in poi è fatta! Qual è il metodo che conviene utilizzare in questi casi?
Note sulla tua soluzione.
La posizione $x^2=1-y^2\to x=\pm\sqrt{1-y^2}$ è del tutto legittima, così come è legittimo studiare $f(x,y)$ sulle due restrizioni che hai scelto.
A occhio, sono corrette sia le sostituzioni sia le derivate (non fidarti, tu controllale di nuovo se necessario). I problemi iniziano proprio nel momento in cui trai le conclusioni: hai perso di vista quello che stavi facendo?
Ti faccio notare che nel momento in cui usi le relazioni $x=-\sqrt{1-y^2}$ e $x=\sqrt{1-y^2}$, passi da una funzione di due variabili $f(x,y)$ a una funzione $\tilde{f}(y)$ della sola variabile $y$. Una volta trovati gli eventuali massimi e minimi in termini di $y$, ricavi i valori di $x$.
Alla fine, una volta determinati tutti i candidati punti di massimo e di minimo procedi con il confronto delle loro immagini mediante $f(x,y)$.
"Mathita":
A questo punto, conviene notare che l'equazione che definisce $D$ può essere espressa nella forma $g(x,y)=0$ dove $g(x,y)=x^2+y^2-1$... e da qui in poi è fatta! Qual è il metodo che conviene utilizzare in questi casi?
Non ho proprio capito questo passaggio: perchè dovrei cambiare la mia funzione e trasformarla in $g(x,y)$ ?
Inoltre non saprei da che parte iniziare con la scelta di un metodo 'in questi casi'...
In questo caso conviene usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Lo avete fatto a lezione?
"Mathita":
In questo caso conviene usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Lo avete fatto a lezione?
Esattamente.
Oppure "visualizzare" che la funzione è un piano con una inclinazione positiva di 45° sia rispetto (x,z) che (y,z) intersecato con un cilindro.
Quindi il massimo e il minimo staranno rispettivamente nei punti $(1/sqrt(2),1/sqrt(2))$ e $(-1/sqrt(2),-1/sqrt(2))$
"Mathita":
In questo caso conviene usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Lo avete fatto a lezione?
No, magari: non possiamo nemmeno usarli.
Grazie a tutti!
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