Max/min assoluti funzione di due variabili in un compatto
data la seguente funzione determinare i max/min assoluti
$arcsin(sqrt(1-x^2-y^2))$
la funzione è definita in un compatto di $RR^2$ ovvero nella circonferenza $x^2+y^2<=1$. calcolo i punti critici. ottengo così il solo punto $(0,0)$. a questo punto come posso fare a determinare la natura del punto e la natura degli altri punti come quelli di frontiera? io so per certo che in virtù del teorema di weirstrass la funzione asssume max/min assoluti perchè ci troviamo in un compatto. andare avanti con l'hessiamo mi sembra sconveniente. qualche idea?
$arcsin(sqrt(1-x^2-y^2))$
la funzione è definita in un compatto di $RR^2$ ovvero nella circonferenza $x^2+y^2<=1$. calcolo i punti critici. ottengo così il solo punto $(0,0)$. a questo punto come posso fare a determinare la natura del punto e la natura degli altri punti come quelli di frontiera? io so per certo che in virtù del teorema di weirstrass la funzione asssume max/min assoluti perchè ci troviamo in un compatto. andare avanti con l'hessiamo mi sembra sconveniente. qualche idea?
Risposte
Intanto io eliminerei quell'$arcsin$ che sappiamo essere crescente ( http://it.wikipedia.org/wiki/Arcsen ), quindi ci basta trovare minimi e massimi di $sqrt(1-x^2-y^2)$. Per quanto riguarda la frontiera poi non applicare né Hessiani né tecniche diaboliche varie, ragiona solo un attimo: quale equazione definisce la frontiera? E allora come si comporta la nostra funzione sulla suddetta frontiera? Facile: è [[size=75]riempi tu lo spazio vuoto[/size]].
"dissonance":
Intanto io eliminerei quell'$arcsin$ che sappiamo essere crescente ( http://it.wikipedia.org/wiki/Arcsen ), quindi ci basta trovare minimi e massimi di $sqrt(1-x^2-y^2)$. Per quanto riguarda la frontiera poi non applicare né Hessiani né tecniche diaboliche varie, ragiona solo un attimo: quale equazione definisce la frontiera? E allora come si comporta la nostra funzione sulla suddetta frontiera? Facile: è [[size=75]riempi tu lo spazio vuoto[/size]].
la frontiera è definita dall'equazione $x^2+y^2=1$
la nostra funzione all'interno è positiva quindi il punto $(0,0)$ è di minimo assoluto invece sulla frontiera è uguale a zero
Volevi dire massimo assoluto? Allora è corretto. Quindi il minimo assoluto è zero ed è assunto sulla frontiera. Questo però riguarda $sqrt(1-x^2-y^2)$, ricordati di applicare $arcsin$ prima di concludere.
"dissonance":
Volevi dire massimo assoluto? Allora è corretto. Quindi il minimo assoluto è zero ed è assunto sulla frontiera. Questo però riguarda $sqrt(1-x^2-y^2)$, ricordati di applicare $arcsin$ prima di concludere.
mmm intendevo dire minimo assoluto nel punto $(0,0)$. dato che in un intorno del suddetto punto cadono tutti punti positivi
"mazzy89":
[quote="dissonance"]Volevi dire massimo assoluto? Allora è corretto. Quindi il minimo assoluto è zero ed è assunto sulla frontiera. Questo però riguarda $sqrt(1-x^2-y^2)$, ricordati di applicare $arcsin$ prima di concludere.
mmm intendevo dire minimo assoluto nel punto $(0,0)$. dato che in un intorno del suddetto punto cadono tutti punti positivi[/quote]
ok ok tutto chiaro.esattamente il punto $(0,0)$ è di max assoluto perchè in $(0,0)$ la funzione vale 1 mentre sulla frontiera vale 0
La funzione iniziale (arcsin) vale $ pi/2 $ in $(0,0)$ .
"Camillo":
La funzione iniziale (arcsin) vale $ pi/2 $ in $(0,0)$ .
si si certo bisogna considerare $arcsin$
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